Extensión generada finitamente

Una extensión de campo generada finitamente $k$ es una extensión del campo tal que hay elementos en tal que . Los elementos son fracciones algebraicas , donde y son polinomios. Si , entonces la extensión se llama simple. $mi$ $k$ $mi$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1}, \ puntos, \ alfa _ {n}}$ $E=K(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})$ $mi$ ${\frac {f(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}{g(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n)))))$ $F$ $gramo$ $n=1$ $K(\alfa )$

Propiedad de extensiones generadas finitamente

Si una extensión generada finitamente es algebraica , entonces es finita . $E=K(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})$ $k$

Para una extensión algebraica simple, esto se deriva del hecho de que el conjunto de valores de los polinomios de no es solo un anillo , sino también un campo. De hecho, deja . Entonces el polinomio no es divisible por — el polinomio mínimo sobre . Pero es un polinomio irreducible y , por tanto , coprimo. Esto implica que hay polinomios sobre y tales que . Sustituyendo en esta igualdad tenemos , es decir, es invertible y es el campo buscado . De la misma manera, dividiendo por , obtenemos que si tiene un grado , entonces $E=K(\alfa )$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización K [\ alfa]}$ ${\ estilo de visualización g (\ alfa) \ neq 0}$ $g(x)$ $p(x)$ $\alfa$ $k$ $p(x)$ $g(x)$ $p(x)$ $hacha)$ $b(x)$ $k$ ${\ estilo de visualización a (x) p (x) + b (x) g (x) = 1}$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización b (\ alfa) g (\ alfa) = 1}$ $g(\alfa)$ ${\ estilo de visualización K [\ alfa]}$ $K(\alfa )$ $f(x)$ $p(x)$ $p(x)$ $norte$ $[E:K]=n$

Para una extensión de varios elementos, tenemos: . Los elementos algebraicos sobre permanecen así sobre un campo grande . A continuación, aplicamos el teorema sobre la torre de extensiones finitas. $K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})\ldots (\ alfa _{n})$ $\alpha_i$ $k$ $K(\alpha _{1})\ldots (\alpha _{i-1})$

Literatura

Van der Waerden BL Álgebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Álgebra conmutativa v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Álgebra -M:, Mir, 1967

Extensión generada finitamente

Propiedad de extensiones generadas finitamente

Literatura

Véase también