Polinomio mínimo de un elemento algebraico

El polinomio mínimo en la teoría de campos es una construcción definida para un elemento algebraico : un polinomio que es un múltiplo de todos los polinomios cuya raíz es el elemento dado.

Los polinomios mínimos se utilizan en el estudio de extensiones de campo . Dada una extensión y un elemento algebraico sobre , entonces el subcampo mínimo que contiene y es isomorfo al anillo del cociente , donde es el anillo de polinomios con coeficientes en , y es el ideal principal generado por el polinomio mínimo . Además, el concepto de polinomio mínimo se usa para determinar elementos conjugados . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $k$ $mi$ $k$ $\alfa$ $K[x]/(f(x))$ $k[x]$ $k$ $(f(x))$ $\alfa$

Definición

Sea una extensión del campo , sea un elemento algebraico encima . Considere un conjunto de polinomios tales que . Este conjunto forma un ideal en el anillo polinomial . De hecho, si , entonces y para cualquier polinomio . Este ideal es distinto de cero, ya que por suposición el elemento es algebraico; como es el dominio de los ideales principales , este ideal es principal, es decir, es generado por algún polinomio . Tal polinomio se define hasta la multiplicación por un elemento invertible del campo; Al imponer un requisito adicional de que el coeficiente principal sea igual a uno, es decir, que sea un polinomio reducido , se obtiene una aplicación biunívoca a un elemento algebraico arbitrario a partir de una extensión dada del polinomio, que se denomina mínimo . polinomio _ De la definición se sigue que cualquier polinomio mínimo es irreducible en . $E\supsetneq K$ $\alpha \in E$ $k$ $f(x)\en K[x]$ $f(\alfa)=0$ $k[x]$ $f(\alfa)=0, g(\alfa)=0$ $(f+g)(\alfa)=0$ $h(x)\en K[x]$ $(f\cdot h)(\alpha)=0$ $\alfa$ $k[x]$ $f(x)$ $f(x)$ $f(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $k[x]$

Ejemplos

deja _ Entonces el polinomio mínimo de un número es . Si tomamos , entonces el polinomio mínimo es igual a . $K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2$ $\alfa$ $x^{2}-2$ $K={\matemáticas R}$ $x-\sqrt 2$
$K=\mathbb Q, E=\mathbb R, \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3$ . El polinomio mínimo es . $\alfa$ $x^4-10x^2+1$
$K=\mathbb {Q} ,E=\mathbb {R} ,\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))+{\sqrt[{3} ]{1-{\raíz cuadrada {2}}}}.$ El polinomio mínimo es $\alfa$ ${\ estilo de visualización x^{3}+3x-2.}$
El análogo para el polinomio es $\alpha ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {2))))-{\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {2))))$ $(x^{3}-3x-2{\sqrt {2)))(x^{3}-3x+2{\sqrt {2)))=x^{6}-6x^{4 }+9x^{2}-8.$

Elementos conjugados

Los elementos conjugados de un elemento algebraico sobre un campo son todas las (otras) raíces del polinomio mínimo . $\alfa$ $k$ $\alfa$

Propiedades

Sea una extensión normal con grupo de automorfismos , . Entonces para cualquier - es conjugado a , ya que cualquier automorfismo toma las raíces del polinomio dado de vuelta a las raíces. Por el contrario, cualquier elemento conjugado a tiene la siguiente forma: esto significa que el grupo actúa transitivamente sobre el conjunto de elementos conjugados. Por lo tanto, por la irreductibilidad del polinomio mínimo, K es isomorfo . Por lo tanto, la relación de conjugación es simétrica . $E\supsetneq K$ $GRAMO$ $\alpha \in E$ $g\in g$ $g(\alfa)$ $\alfa$ $k[x]$ $\beta$ $\alfa$ $GRAMO$ $K(\alfa )$ $K(\beta)$

El teorema de Kronecker establece que cualquier número entero algebraico tal que su módulo y el módulo de todos sus conjugados en el campo de los números complejos sea igual a 1 es una raíz de la unidad .

Notas

Polinomio mínimo (inglés) en el sitio web de PlanetMath .
Weisstein, Eric W. Elementos conjugados en Wolfram MathWorld .
Pinter, Charles C. Un libro de álgebra abstracta. Libros de Dover sobre series de matemáticas. Publicaciones de Dover, 2010, pág. 270-273. — ISBN 978-0-486-47417-5