Número primo constante

Una constante prima es un número real cuyo enésimo dígito binario es 1 si n es primo y 0 si n es compuesto o 1. $\rho$ $norte$ $norte$

En otras palabras, es simplemente un número cuya descomposición binaria corresponde a la función indicadora del conjunto de números primos . Eso es $\rho$

\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p))}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi_{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}

donde denota un número primo, y es la función característica de los números primos. $pags$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {\ mathbb {P}}}$

Dígitos iniciales de la representación decimal del número ρ : (secuencia A051006 en OEIS ) $\rho =0{,}414682509851111660248109622\ldots$

Caracteres principales de representación binaria: (secuencia A010051 en OEIS ) ${\displaystyle \rho =0{,}011010100010100010100010000\ldots _{2))$

Irracionalidad

Es fácil demostrar que un número es irracional . Para ver esto, supongamos que es racional. $\rho$

Denotemos el signo th de la representación binaria por . Entonces, dado que es racional por suposición, debe haber números positivos y tales que para todos y todas . $k$ $\rho$ $r_{k}$ $\rho$ $norte$ $k$ ${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik))$ $n>N$ $i\en \mathbb {N}$

Como hay infinitos números primos, podemos elegir un número primo . Por definición, sabemos que . Como se indicó anteriormente, debe ser cierto para cualquier . Consideremos el caso . Tenemos , desde , porque . Como , debemos afirmar que es irracional. $p>N$ ${\ estilo de visualización r_ {p} = 1}$ $r_{p}=r_{p+ik}$ $i\en \mathbb {N}$ ${\ estilo de visualización i = p}$ $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$ ${\ estilo de visualización p (k + 1)}$ $k+1\geq 2$ ${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)))$ $\rho$

Enlaces

Weisstein, Eric W. Prime Constant (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Numeros irracionales
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