Logaritmo natural 2

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El logaritmo natural de 2 en notación decimal (secuencia A002162 en OEIS ) es aproximadamente

\ln 2\aprox. 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\ ,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326 \,996\,418\,687

como se muestra en la primera fila de la siguiente tabla. El logaritmo del número 2 con base diferente ( b ) se puede calcular a partir de la relación

\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b)).

El logaritmo decimal del número 2 ( A007524 ) es aproximadamente igual a

\log _{10}2\aprox. 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026 \,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\, 927\,252\,118\,186\,172\,040\,684

El recíproco del número dado es el logaritmo binario de 10:

\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\aprox. 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\ ,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593 \,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015

( A020862 ).

Número	Valor aproximado del logaritmo natural	OEIS
2	0.693147180559945309417232121458	secuencia A002162 en OEIS
3	1.09861228866810969139524523692	secuencia A002391 en OEIS
cuatro	1.38629436111989061883446424292	secuencia A016627 en OEIS
5	1.60943791243410037460075933323	secuencia A016628 en OEIS
6	1.79175946922805500081247735838	secuencia A016629 en OEIS
7	1.94591014905531330510535274344	secuencia A016630 en OEIS
ocho	2.07944154167983592825169636437	secuencia A016631 en OEIS
9	2.19722457733621938279049047384	secuencia A016632 en OEIS
diez	2.30258509299404568401799145468	secuencia A002392 en OEIS

Por el teorema de Lindemann-Weierstrass, el logaritmo natural de cualquier número natural distinto de 0 y 1 (en general, para cualquier número algebraico positivo excepto 1) es un número trascendental .

No se sabe si ln 2 es un número normal .

Representación de filas

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2.

( Serie Mercator )

\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)))=\ln 2.

\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)(n+2)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n(4n^{2}-1)))=2\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)))=\ln 2-1.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)))=2\ln 2-{\ frac {3}{2}}.

\sum _{n=2}^{\infty}{\frac {1}{2^{n))}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\tfrac {1} {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2 {2}}.

\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{2^{2n}(2n+1)))\zeta (2n)={\frac {1-\ln 2 {2}}.

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n))=\operatorname {Li} _{1}\left({\ fracción {1}{2}}\derecha).

( Polilogaritmo )

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {1}{3^{n))}+{\frac {1}{4^{n} }}\derecha){\frac{1}{n}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{2k}} +{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16 ^{k}}}.

\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{9^{k}(2k+1))).

\ln 2=\sum _{k\geq 0}\left({\frac {14}{31^{2k+1}(2k+1)))+{\frac {6}{161^ {2k+1}(2k+1)}}+{\frac {10}{49^{2k+1}(2k+1)))\derecha).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{4n^{2}-2n)).

\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}- 4n}}.

(aquí γ denota la constante de Euler-Mascheroni , ζ es la función zeta de Riemann ).

A veces, esta categoría de fórmulas incluye la fórmula Bailey - Borwain - Pluff :

{\begin{alineado}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3 \cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\ &=\sum_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k))={\frac {1}{2))\sum_{k=0 }^{\infty}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\ frac {1}{2}}P{\grande (}1,2,1,(1){\grande)}.\end{alineado}}

Representación como integrales

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\ln 2,{\text{ o equivalente }}\int _{1}^{2} {\ fracción {dx}{x}}=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{(1+x^{2})(1+x)^{2))}={\frac {1-\ln 2}{4}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+e^{nx))}={\frac {\ln 2}{n));\int _{0} ^{\infty }{\frac {dx}{3+e^{nx}}}={\frac {2\ln 2}{3n}}.

\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {2}{e^{2x}-1}}\,dx =\ln 2.

\int_{0}^{\infty}e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2.

\int _{0}^{1}\ln \left({\frac {x^{2}-1}{x\ln x}}\right)dx=-1+\ln 2+\ gama .

\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\operatorname {tg} x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}} \nombre del operador {tg} x\,dx=\ln 2.

\int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{\frac {\pi }{4}}\ln \left(\sin x+\cos x\right)\,dx= -{\frac{\pi\ln 2}{4)).

\int _{0}^{1}x^{2}\ln(1+x)\,dx={\frac {2\ln 2}{3}}-{\frac {5}{ Dieciocho}}.

\int _{0}^{1}x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {1}{4}}-\ln 2.

\int _{0}^{1}x^{3}\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx={\tfrac {13}{96}}-{\frac {2\ln 2}{3}}.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln x}{(1+x)^{2))}\,dx=-\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1+x)-x}{x^{2))}\,dx=1-2\ln 2.

\int _{0}^{1}{\frac {dx}{x(1-\ln x)(1-2\ln x)))=\ln 2.

\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \left(\ln x\right)}{x^{3))}\,dx=-{\frac {\gamma + \ln 2}{2}}.

Otras formas de representación numérica

La expansión de Peirce tiene la forma ( A091846 )

\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .

Descomposición de Engel ( A059180 ):

\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{ \frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .

El desarrollo en forma de cotangentes tiene la forma A081785

\ln 2=\operatorname {ctg} ({\operatorname {arcctg} 0-\operatorname {arcctg} 1+\operatorname {arcctg} 5-\operatorname {arcctg} 55+\operatorname {arcctg} 14187-\ cpuntos}).

Representación como una suma infinita de fracciones [1] ( serie armónica alterna de signo ):

\ln 2=1-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5 }}-\cdots.

También es posible representar el logaritmo natural de 2 como una expansión de la serie de Taylor :

${\textstyle \quad \ln 2={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{56 ))+{\tfrac {1}{90}}+\cpuntos}$

Representación como fracción continua generalizada : [2]

\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{ 5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots))))))))))))))))))) ={\ cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ puntos }} }}}}}}

Cálculo de otros logaritmos

Si se conoce el valor de ln 2 , entonces para calcular los logaritmos de otros números naturales, puede tabular los logaritmos de los números primos y luego determinar los logaritmos de los números mixtos c en función de la descomposición en factores primos:

c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln c=i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5+l\ en 7+\cpuntos

La tabla muestra los logaritmos de algunos números primos.

número primo	Valor aproximado del logaritmo natural	OEIS
once	2.39789527279837054406194357797	secuencia A016634 en OEIS
13	2.56494935746153673605348744157	secuencia A016636 en OEIS
17	2.83321334405621608024953461787	secuencia A016640 en OEIS
19	2.94443897916644046000902743189	secuencia A016642 en OEIS
23	3.13549421592914969080675283181	secuencia A016646 en OEIS
29	3.36729582998647402718327203236	secuencia A016652 en OEIS
31	3.43398720448514624592916432454	secuencia A016654 en OEIS
37	3.61091791264422444436809567103	secuencia A016660 en OEIS
41	3.71357206670430780386676337304	secuencia A016664 en OEIS
43	3.76120011569356242347284251335	secuencia A016666 en OEIS
47	3.85014760171005858682095066977	secuencia A016670 en OEIS
53	3.97029191355212183414446913903	secuencia A016676 en OEIS
59	4.07753744390571945061605037372	secuencia A016682 en OEIS
61	4.11087386417331124875138910343	secuencia A016684 en OEIS
67	4.20469261939096605967007199636	secuencia A016690 en OEIS
71	4.26267987704131542132945453251	secuencia A016694 en OEIS
73	4.29045944114839112909210885744	secuencia A016696 en OEIS
79	4.36944785246702149417294554148	secuencia A016702 en OEIS
83	4.41884060779659792347547222329	secuencia A016706 en OEIS
89	4.48863636973213983831781554067	secuencia A016712 en OEIS
97	4.57471097850338282211672162170	secuencia A016720 en OEIS

En el tercer paso, los logaritmos de los números racionales r = a / b se calculan como ln r = ln a − ln b , los logaritmos de las raíces: ln n √ c = 1/ n ln c .

El logaritmo de 2 es útil en el sentido de que las potencias de 2 están bastante densamente distribuidas: encontrar una potencia de 2 i que sea cercana a la potencia de b j de otro número b es relativamente fácil.

Valores conocidos

Esta es una tabla de entradas recientes sobre el cálculo de números . A diciembre de 2018, ha calculado más dígitos que cualquier otro logaritmo natural [3] [4] de un número natural excepto 1. ${\ estilo de visualización \ ln (2)}$

la fecha	Número de dígitos significativos	Autores de cálculo
7 de enero de 2009	15 500 000 000	A.Yee y R.Chan
4 de febrero de 2009	31 026 000 000	A.Yee y R.Chan
21 de febrero de 2011	50 000 000 050	Alejandro Yee
14 de mayo de 2011	100,000,000,000	Shigeru Kondo
28 de febrero de 2014	200 000 000 050	Shigeru Kondo
12 de julio de 2015	250,000,000,000	Ron Watkins
30 de enero de 2016	350,000,000,000	Ron Watkins
18 de abril de 2016	500,000,000,000	Ron Watkins
10 de diciembre de 2018	600,000,000,000	Michael Kwok
26 de abril de 2019	1,000,000,000,000	jacob rifee
19 de agosto de 2020	1 200 000 000 100	Seung Min Kim [5] [6]

Notas

↑ Wells, David. El Diccionario Pingüino de Números Curiosos e Interesantes . - Pingüino, 1997. - Pág . 29 . — ISBN 0140261494 .
↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. Sobre la fracción AGM de Ramanujan, I: El caso de parámetros reales // Exper . Matemáticas. : diario. - 2004. - vol. 13 _ - pág. 278-280 . doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504540 .
↑ y-cruncher: un programa Pi de subprocesos múltiples . www.numberworld.org . Consultado el 19 de febrero de 2021. Archivado desde el original el 16 de abril de 2015. (indefinido)
↑ Logaritmo natural de 2 . www.numberworld.org . Consultado el 19 de febrero de 2021. Archivado desde el original el 9 de julio de 2021. (indefinido)
↑ y-cruncher: un programa Pi de subprocesos múltiples . web.archive.org (15 de septiembre de 2020). Fecha de acceso: 19 de febrero de 2021. (indefinido)
↑ Logaritmo natural de 2 (Log(2) ) . Coleccionista polímata (19 de agosto de 2020). Consultado el 19 de febrero de 2021. Archivado desde el original el 17 de octubre de 2020.

Literatura

Brent, Richard P. Evaluación rápida de precisión múltiple de funciones elementales // J. ACM : revista. - 1976. - vol. 23 , núm. 2 . - Pág. 242-251 . -doi : 10.1145/ 321941.321944 .
Uhler, Horace S. Recálculo y extensión del módulo y de los logaritmos de 2, 3, 5, 7 y 17 // Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América : revista . - 1940. - Vol. 26 . - pág. 205-212 . -doi : 10.1073/ pnas.26.3.205 .
Sweeney, Dura W. Sobre el cálculo de la constante de Euler // Matemáticas de la computación : diario. - 1963. - vol. 17 _ - pág. 170-178 . -doi : 10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X .
Chamberland, Marc. Fórmulas BBP binarias para logaritmos y primos gaussianos-mersenne generalizados (inglés) // Journal of Integer Sequences : journal. - 2003. - vol. 6 _ — Pág. 03.3.7 . Archivado desde el original el 6 de junio de 2011.
Gourevitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús. Construcción de sumas binomiales para π y constantes polilogarítmicas inspiradas en fórmulas BBP // Matemáticas aplicadas. Notas electrónicas: diario. - 2007. - vol. 7 . - P. 237-246 .
Wu, Qiang. Sobre la medida de independencia lineal de los logaritmos de los números racionales // Matemáticas de Computación : diario. - 2003. - vol. 72 , núm. 242 . - Pág. 901-911 . -doi : 10.1090/ S0025-5718-02-01442-4 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Logaritmo natural de 2 en Wolfram MathWorld .
Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal La constante del logaritmo:log 2 . (indefinido)

Numeros irracionales
Constante de Apéry ( ζ(3) ) Constante de Erdős-Borwein ( E ) constantes de Feigenbaum Sueño sofomoriano Número primo constante (ρ) Número plástico (ρ) Logaritmo de dos (ln 2) raíz 12 de 2 ( 12 √ 2 ) Raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) Raíz cuadrada de 3 ( √ 3 ) Raíz cuadrada de 5 ( √5 ) Proporción áurea (φ) Súper proporción áurea (ψ) Sección de plata ( δS ) mi π Constante de Gelfond ( e π ) Constante de Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) Constante inversa de Fibonacci (ψ)
trascendental Trigonométrico