Una configuración de Desargues es una configuración de diez puntos y diez líneas, en la que cada línea contiene tres puntos de la configuración y tres líneas pasan por cualquier punto. La configuración lleva el nombre de Gerard Desargues y está estrechamente relacionada con el teorema de Desargues , que prueba la existencia de tales configuraciones.
Se dice que dos triángulos ABC y abc están en perspectiva central si las líneas Aa , Bb y Cc se cortan en un punto (el llamado centro de perspectiva). Están en perspectiva axial si los puntos de intersección de las rectas que pasan por los lados correspondientes de los triángulos X = AB • ab , Y = AC • ac y Z = BC • bc se encuentran en la misma línea recta, en el eje de perspectiva. El teorema de Desargues establece que estas dos condiciones son equivalentes: si dos triángulos están en perspectiva central, entonces deben estar en perspectiva axial y viceversa. En este caso, los diez puntos y diez líneas de estas dos perspectivas (los seis vértices de los triángulos, los tres puntos de intersección en el eje de perspectiva y el centro de perspectiva, los seis lados de los triángulos, las tres líneas a través del centro de perspectiva y el eje de perspectiva) juntos forman la configuración de Desargues.
Aunque la configuración se puede incrustar en un plano, tiene una construcción muy simple en el espacio tridimensional: cinco planos cualesquiera que estén en posición general en el espacio euclidiano tienen diez puntos de intersección de tres planos y diez líneas de intersección de dos planos y formar una configuración de Desargues [1] . Esta construcción está íntimamente relacionada con la propiedad de que cualquier plano proyectivo que pueda ser embebido en un espacio proyectivo obedece al teorema de Desargues. Tal representación tridimensional de la configuración de Desargues también se llama pentaedro completo [1] .
Un pentaedro o cinco celdas (un símplex regular en un espacio de cuatro dimensiones) tiene cinco vértices, diez aristas, diez caras triangulares bidimensionales y cinco caras tetraédricas. Las aristas y las caras 2D se intersecan exactamente de la misma manera que los puntos con líneas en la configuración de Desargues. Continuemos los bordes de las cinco celdas con líneas rectas y cada triángulo al plano. Considere la intersección de estas líneas y planos con un hiperplano tridimensional que no contiene estas líneas y planos y tampoco es paralelo a ellos. Cada línea interseca al hiperplano en un punto, y cada plano interseca al hiperplano en una línea recta. Estos diez puntos y líneas forman la configuración de Desargues [1] .
Aunque los puntos y las líneas juegan diferentes roles en el teorema de Desargues, la configuración de Desargues es más simétrica: cualquiera de los diez puntos puede elegirse como el centro de la perspectiva, y esta elección determina qué seis puntos son los vértices de los triángulos y qué línea es. el eje de la perspectiva. La configuración de Desargues tiene un grupo de simetría de orden 120. Así, hay 120 formas diferentes de permutar puntos y líneas en una configuración que conserva la incidencia de un punto y una línea. La representación tridimensional de la configuración de Desargues hace que estas simetrías sean más explícitas: si la configuración se obtiene a partir de cinco planos en el espacio tridimensional en una configuración común, entonces cada una de las 120 permutaciones diferentes de estos cinco planos corresponde a la simetría en el Desargue la configuración [1] .
La configuración de Desargues es autodual, lo que significa que se pueden unir los puntos de la primera configuración con las líneas de la otra configuración y las líneas de la primera con los puntos de la segunda de tal manera que se conservan todas las incidencias [2 ] .
El gráfico de Levi de una configuración de Desargues que tiene un vértice para cada punto y un vértice para cada línea en la configuración se conoce como el gráfico de Desargues . En vista de las simetrías y la autodualidad de la configuración de Desargues, el grafo de Desargues es un grafo simétrico .
Kempe propuso otro gráfico para esta configuración, con diez vértices correspondientes a líneas y aristas que conectan dos vértices si el punto de intersección de dos líneas no pertenece a la configuración. Puede interpretar este gráfico de otra manera: los vértices del gráfico corresponden a los puntos de la configuración de Desargues, y los bordes en este caso corresponden a líneas si la línea que pasa por estos puntos no pertenece a la configuración. Esta publicación es la primera fuente conocida en la literatura matemática que incluye un gráfico de Petersen , 12 años antes de que Julius Petersen utilizara el mismo gráfico como contraejemplo en un problema de coloración de bordes .
Como configuración proyectiva, la configuración de Desargues tiene la notación (10 3 10 3 ), lo que significa que cada uno de sus 10 puntos es incidente a tres líneas, y cada una de sus 10 líneas es incidente a tres puntos. Sus diez puntas pueden considerarse de manera única como dos pentágonos inscritos mutuamente o como un decágono inscrito en sí mismo [3] . El gráfico de Desargues , un gráfico cúbico simétrico bipartito de 20 vértices , recibe este nombre porque se puede representar como un gráfico de Levi de la configuración de Desargues, con un vértice para cada punto y para cada línea, y una arista para cada punto. incidente de línea.
Hay otras ocho configuraciones (10 3 10 3 ) (es decir, conjuntos de puntos y líneas en el plano euclidiano en el que cualquier punto se encuentra en tres líneas y cualquier línea contiene tres puntos) que no son isomorfas con respecto a la relación de incidencia de la configuración de Desargues, y una de estas configuraciones se muestra en la figura de la derecha. En todas estas configuraciones, para cualquier punto elegido, siempre hay otros tres que no están en la misma línea que él, y estos puntos no están en la misma línea. En la configuración de Desargues, estos tres puntos siempre se encuentran en la misma línea recta. Entonces, si elegimos el centro de la perspectiva, estos tres puntos se encuentran en el eje de la perspectiva. En el ejemplo de la derecha, estos puntos forman un triángulo. Como en el caso de la configuración de Desargues, otras configuraciones pueden representarse como un par de pentágonos mutuamente inscritos.