Análisis multiescala

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El análisis multiescala (MSA) es una herramienta para construir bases de wavelet . Fue desarrollado en 1988/89. Malla y yo. Meyrom. La idea del análisis multiescala es que la señal se descomponga en una base ortogonal formada por desplazamientos y copias multiescala de la función wavelet . La convolución de una señal con wavelets permite resaltar los rasgos característicos de la señal en el área de localización de estas wavelets.

El concepto de análisis multiescala (MSA) es fundamental en la teoría de wavelets. Para el análisis multiescala, se ha desarrollado un algoritmo de cálculo en cascada rápido similar a la transformada rápida de Fourier .

Definición

Al realizar KMA, el espacio de señales se representa como un sistema de subespacios anidados , que se diferencian entre sí por el reescalado de la variable independiente. Así, un conjunto de espacios cerrados se denomina análisis multiescala (MCA) si se cumplen ciertas condiciones. $L^{2}(\mathbb{R} )$ $V_{j}\subconjunto L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$ $L^{2}(\mathbb{R} )$ $V_{j}(\mathbb {R} ),j\en \mathbb {Z} ,$

(1) Condición de anidamiento:

V_{j}\subconjunto V_{j+1}

para todos Todo el espacio de señales como un todo puede representarse como una secuencia de subespacios cerrados anidados de los correspondientes niveles de descomposición de señales ;

j\en \mathbb {Z}

L^{2}(\mathbb{R} )

metro

(2) La condición para la integridad y densidad de la partición:

\bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}

apretado en

L^{2}(\mathbb{R});

(3) Condición de ortogonalidad de los subespacios:

\bigcap \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}={0};

(4) La condición de conservación en el subespacio bajo cambios de funciones:

f(t)\en V_{j}\Leftrightarrow f(t+1)\en V_{j};

(5) La transformación de escala de cualquier función por 2 veces el argumento mueve la función al subespacio adyacente:

{\ Displaystyle f (t) \ en V_ {j))

f(t)\en V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\en V_{j+1};

f(t)\en V_{j}\Leftrightarrow f(t/2)\en V_{j-1};

(6) Existe cuyo entero se desplaza con respecto al argumento forma una base ortonormal del espacio

{\ estilo de visualización r (t) \ en V_ {0))

V_{0}

f_{0,k}(t)=f(tk),k\en \mathbb {Z} .

La función se llama función de escalado .

{\ estilo de visualización r (t)}

Propiedades

Denotemos los desplazamientos y dilataciones de la función ${\ estilo de visualización f:}$ $f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .$

Para cualquier función formar una base ortonormal en $j\en \mathbb {Z}$ $\varphi _{j,n},n\in \mathbb {Z}$ $V_{j}.$

Si entonces _ ${\ estilo de visualización f \ en V_ {j},}$ $f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_{j},j\in \mathbb {Z}$

La función de la condición (5) se llama escalado para un CMA dado. $\varphi$

Construcción de bases de ondículas ortogonales

Que formen KMA. Se denota por el complemento ortogonal de en el espacio Luego se descompone el espacio en una suma directa Así, por descomposición secuencial de espacios y teniendo en cuenta la condición (3), obtenemos A usando la condición (2), tenemos: $\{V_{j}\}_{j\en \mathbb {Z} }$ $W_j$ $V_{j}$ $V_{j+1}.$ $V_{j+1}$ $V_{j+1}=V_{j}\bigoplus W_{j}.$ $V_{j}$ $V_{j+1}=\bigoplus \limits_{i=-\infty}^{j}W_{i}.$ $L_{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus \limits _{j=-\infty }^{\infty }W_{j))}.$

Por lo tanto, el espacio se descompone en una suma directa de subespacios ortogonales por pares. Es importante que la función genere otra función cuyos desplazamientos enteros sean una base ortonormal en . Tal construcción se puede llevar a cabo utilizando el siguiente teorema. $L_{2}(\mathbb{R} )$ ${\ estilo de visualización W_ {j}.}$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ psi \ en W_ {0},}$ ${\ estilo de visualización W_ {0}.}$ $\psi$

Sea - CMA con una función de escala - su máscara, el sistema es ortonormal, $\{V_{j}\}_{j\en \mathbb {Z} }$ $\varphi,$ $m_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }h_{n}e^{2\pi in\xi }$ ${\ estilo de visualización \ {\ varphi _ {0n} \} _ {n \ en \ mathbb {Z}}}$

\psi :=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi _{1n}.

Entonces las funciones forman una base ortonormal del espacio $\psi _{jn},j,n\in \mathbb {Z}$ $L_{2}(\mathbb {R} ).$

KMA multidimensional

En el caso general de un espacio dimensional, una base ortonormal forma funciones, con la ayuda de las cuales se realiza el MRA de cualquier función de su espacio, mientras que el factor de normalización es igual a . $norte-$ $2^{n}-1$ $L^{2}(\mathbb{R} ^{n})$ ${\ estilo de visualización 2^{nm/2}}$

Notas

Charles K. Chui, Introducción a Wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
Novikov I. Ya., Protasov V. Yu., Skopina M. A., Splash Theory , (2005), Fizmatlit, Moscú, ISBN 5-9221-0642-2