Base ortogonal

Una base ortogonal (ortonormal) es un sistema ortogonal ( ortonormal ) de elementos de un espacio lineal con un producto escalar que tiene la propiedad de completitud .

Caso de dimensión finita

Una base ortogonal es una base compuesta de vectores ortogonales por pares . Una base ortonormal también satisface la condición de unidad de la norma de todos sus elementos. Es decir, es una base ortogonal con elementos normalizados.

Este último está convenientemente escrito usando el símbolo de Kronecker :

{\ estilo de visualización (e_ {i}, e_ {j}) = \ delta _ {ij},}

es decir, el producto escalar de cada par de vectores base es cero cuando no son iguales ( ), y es igual a uno cuando el índice es el mismo, es decir, cuando se toma el producto escalar de cualquier vector base consigo mismo . $yo\neq j$

Muchas cosas se escriben en una base ortogonal mucho más fácil que en una arbitraria, por lo tanto, muy a menudo intentan usar solo esas bases, si es posible, o el uso de alguna base especial no ortogonal no proporciona especial especial conveniencias O si no la abandonan en favor de una base de forma general por razones de generalidad.

Una base ortonormal es autodual ( su base dual coincide consigo misma). Por lo tanto, es posible no hacer una distinción entre los índices superior e inferior y usar, digamos, solo índices inferiores (como suele ser el caso, a menos, por supuesto, que solo se usen bases ortonormales en este caso).

La independencia lineal se deriva de la ortogonalidad, es decir, se logra automáticamente para un sistema ortogonal de vectores.

Coeficientes en la expansión de un vector en base ortogonal:

\\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n} }

se puede encontrar asi:

\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} ) }}.

La completitud de un sistema ortonormal de vectores es equivalente a la igualdad de Parseval : para cualquier vector, el cuadrado de la norma del vector es igual a la suma de los cuadrados de los coeficientes de su expansión en la base: ${\ matemáticas {a}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {a}})=\sum _{i}({\mathbf {a}},{\mathbf {e_{i}}})^{2},

Relaciones similares también se cumplen para el caso de dimensión infinita (ver más abajo).

Caso de dimensión infinita

Una base ortogonal es un sistema de elementos ortogonales por pares de un espacio de Hilbert, de modo que cualquier elemento se puede representar de forma única como una serie convergente de normas. $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ $X$ $x\en X$

x=\sum_{{n=1}}^{\infty}a_{n}e_{n},

llamada la serie de Fourier de un elemento en el sistema . $X$ $\{e_{n}\}$

A menudo, la base se elige de modo que , y entonces se llama base ortonormal . En este caso, los números , llamados coeficientes de Fourier de un elemento en base ortonormal , son de la forma $\{e_{n}\}$ $|e_{n}|=1$ $un$ $X$ $\{e_{n}\}$

a_{n}=(x,e_{n})

Una condición necesaria y suficiente para que un sistema ortonormal sea una base es la igualdad de Parseval . $\{e_{n}\}$

Un espacio de Hilbert que tiene una base ortonormal es separable y, a la inversa, todo espacio de Hilbert separable tiene una base ortonormal.

Si se da un sistema arbitrario de números tal que , entonces, en el caso de un espacio de Hilbert con una base ortonormal , la serie converge en norma a algún elemento . Esto establece el isomorfismo de cualquier espacio separable de Hilbert a espacio ( el teorema de Riesz -Fischer). $\{un}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}^{2}<\infty$ $\{e_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}e_{n}$ $x\en X$ $l_{2}$

Ejemplos

La base estándar en el espacio euclidiano n-dimensional R n es ortonormal. $e_{1}=(1,0,\ldots,0)^{{\mathrm {T}}},e_{2}=(0,1,\ldots,0)^{{\mathrm {T}} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots,1)^{{\mathrm {T))}$

El conjunto forma una base ortonormal en . $\{f_{n}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{inx}},n\in {\mathbb {Z}}\}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$

Literatura

Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal, Moscú: Nauka, 1971.
Métodos espaciales de Moren K. Hilbert. M.: Mir, 1965.

Véase también

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro