Conjunto denso

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Un conjunto denso es un subconjunto del espacio cuyos puntos pueden aproximarse arbitrariamente bien a cualquier punto del espacio circundante. Formalmente hablando, es denso en si cualquier vecindad de cualquier punto contiene un elemento de . $A$ $X$ $X$ $X$ $A$

Definiciones

Dado un espacio topológico y dos subconjuntos , entonces el conjunto se llama denso en el conjunto si cualquier vecindad de cualquier punto contiene al menos un punto desde , es decir $(X,{\mathcal {T}})$ ${\ estilo de visualización A, B \ subconjunto X.}$ $A$ $B$ $B$ $A$

\forall x\in B\;\forall U\in {\mathcal {T))\quad {\bigl (}x\in U{\bigr)}\Rightarrow {\bigl (}U\cap A \neq \varnada {\bigr)}.

Se dice que un conjunto es denso en todas partes si es denso en $A$ $X.$

Nota

La definición anterior de densidad de conjunto es equivalente a cualquiera de las siguientes:

El conjunto es denso si y sólo si la clausura contiene , es decir, . En particular, es denso en todas partes si . $A$ $B$ $A$ $B$ ${\bar {A}}\supset B$ $A$ ${\ estilo de visualización {\ barra {A}} = B}$
El conjunto es denso si y sólo si el interior del complemento a no se corta con , es decir, . En particular, es denso en todas partes si . $A$ $B$ $A$ $B$ $\left(A^{\complement}\right)^{0}\cap B=\emptyset$ $A$ $\left(A^{\complement}\right)^{0}=\emptyset$

Ejemplos

El conjunto de los números racionales es denso en el espacio de los números reales . $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$

Véase también

Literatura

R. A. Aleksandryan, E. A. Mirzakhanyan . Topología general - M: Escuela superior, 1979.
Kelly J. L. Topología general - M . : Nauka, 1968
Engelking R. Topología general - M .: Mir, 1986
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Topología elemental Archivado el 19 de febrero de 2012 en Wayback Machine . Tutorial en tareas (rus., ing.)