Criterio de Friedman

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La prueba de Friedman [1] ( ing. Friedman test ) es una prueba estadística no paramétrica desarrollada por el economista estadounidense Milton Friedman . Es una generalización del criterio de Wilcoxon y se utiliza para comparar condiciones de medición ( ) para objetos (sujetos) con clasificación por valores de medición individuales [2] . Análogo no paramétrico de análisis de varianza con ANOVA de medidas repetidas . $C$ $c\geqslant 3$ $norte$

Reto

Dada una muestra de medidas para cada uno de los sujetos, que se puede presentar en forma de tabla [2] [3] : $C$ $norte$

	Términos
número de objeto	$una$	$2$	$\puntos$	$C$
$una$	${\ estilo de visualización x_ {11}}$	${\ estilo de visualización x_ {21}}$	$\puntos$	${\ Displaystyle x_ {c1}}$
$2$	${\ estilo de visualización x_ {12}}$	${\ estilo de visualización x_ {22}}$	$\puntos$	${\ Displaystyle x_ {c2}}$
$\vpuntos$	$\vpuntos$	$\vpuntos$	${\ estilo de visualización \ ddots}$	$\vpuntos$
$norte$	${\ estilo de visualización x_ {1n}}$	${\ Displaystyle x_ {2n}}$	$\puntos$	${\ Displaystyle x_ {cn}}$

Como hipótesis nula se considera la siguiente: “sólo existen diferencias aleatorias entre las medidas obtenidas en diferentes condiciones” [2] . Se elige un nivel de significación , por ejemplo, ( probabilidad de rechazar erróneamente la hipótesis nula). $H_{0}$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización \ alfa = 0,01}$

Prueba de hipótesis

Primero, obtenemos una tabla de rangos por filas, en la que obtenemos los rangos del objeto al clasificar [3] : $r_{{ij}}$ $x_{ij}$ ${\displaystyle x_{1j},x_{2j},\puntos,x_{cj))$

	rangos
número de objeto	$una$	$2$	$\puntos$	$C$
$una$	${\ estilo de visualización r_ {11}}$	$r_{21}$	$\puntos$	${\ Displaystyle r_ {c1}}$
$2$	$r_{12}$	${\ estilo de visualización r_ {22}}$	$\puntos$	${\ Displaystyle r_ {c2}}$
$\vpuntos$	$\vpuntos$	$\vpuntos$	${\ estilo de visualización \ ddots}$	$\vpuntos$
$norte$	${\ Displaystyle r_ {1n}}$	${\ Displaystyle r_ {2n}}$	$\puntos$	${\ Displaystyle r_ {cn}}$

Obtenemos las sumas de rangos e introducimos otra notación:

{\displaystyle R_{i}=\sum_{j=1}^{n}r_{ij))

{\bar{R}}_{i}={\frac {R_{i}}{n}}

{\bar {\bar {R}}}={\frac{c+1}{2}}

Para probar la hipótesis, utilizaremos el valor empírico del criterio - estadístico :

S={\frac {12n}{c(c+1)}}\sum _{i=1}^{c}({\bar {R}}_{i}-{\bar {\ barra{R}}})^{2}

que también se puede escribir como:

S={\frac {12}{nc(c+1)}}\sum_{i=1}^{c}R_{i}^{2}-3n(c+1)

Se acepta la hipótesis nula si el valor crítico del criterio supera el valor empírico:

S<S_{\alpha}(n,c)

Para valores pequeños y para el valor crítico de Friedman, existen tablas para diferentes valores del nivel de significación (o nivel de confianza [3] ). $norte$ $C$ $\alfa$ $1-\alfa$

La aproximación es aplicable para y - cuantil de distribución chi-cuadrado con grados de libertad [3] : ${\ Displaystyle n \ geqslant 13}$ $c\geqslant 20$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización c-1}$

S_{\alpha }(n,c)\approx \chi _{\alpha }^{2}(c-1)

Para algunos valores pequeños, las estadísticas se pueden transformar para aproximar el cuantil de la distribución de Fisher o aplicar las estadísticas de Iman-Davenport [3] . $\alfa$

Ejemplos

Ejemplos de aplicaciones clásicas:

$norte$ los catadores evalúan diferentes variedades de vinos. ¿Los vinos tienen diferencias significativas?
Se evaluó la calidad de las soldaduras realizadas por soldadores con sopletes de soldadura. ¿Hay alguna diferencia en la calidad de cualquiera de los quemadores? $norte$ $C$

Análisis post hoc

El análisis post- hoc fue propuesto por Shaikh y Hamerly (1984) [4] , así como por Conover (1971, 1980) [5] para determinar qué condiciones son significativamente diferentes entre sí, en función de la diferencia en sus rangos medios [6]. ] .

Implementación de software

La prueba de Friedman está contenida en muchos paquetes de software para el procesamiento de datos estadísticos ( SPSS , R [7] y otros [8] ).

No todos los paquetes estadísticos admiten análisis post hoc para la prueba de Friedman, pero se puede encontrar código para, por ejemplo, SPSS [9] y R [10] .

Notas

↑ Kobzar A. I. ("Estadística matemática aplicada") llama a este criterio el criterio de Friedman-Kendall-Babbington Smith
↑ 1 2 3 Afanasiev, Sivov, 2010 .
↑ 1 2 3 4 5 Kobzar, 2006 .
↑ Schaich, E. y Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlín: Springer. ISBN 3-540-13776-9 .
↑ Conover, WJ (1971, 1980). Estadística práctica no paramétrica. Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3 .
↑ Bortz, J., Lienert, G. y Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlín: Springer. ISBN 3-540-67590-6 .
↑ Prueba de suma de rangos de Friedman . Consultado el 22 de noviembre de 2012. Archivado desde el original el 9 de enero de 2019. (indefinido)
↑ Prueba de Friedman . Fecha de acceso: 22 de noviembre de 2012. Archivado desde el original el 29 de julio de 2014. (indefinido)
↑ Comparaciones post-hoc para la prueba de Friedman (enlace descendente) . Consultado el 10 de noviembre de 2012. Archivado desde el original el 3 de noviembre de 2012. (indefinido)
↑ Análisis post hoc para la Prueba de Friedman (código R) . Consultado el 10 de noviembre de 2012. Archivado desde el original el 13 de noviembre de 2012. (indefinido)

Literatura

Afanasiev V. V., Sivov M. A. Estadística matemática en pedagogía . - Yaroslavl: Editorial YaGPU, 2010. - S. 63 -65. — 76 págs. - ISBN 978-5-87555-366-0 .
Estadística matemática aplicada de Kobzar AI . Para ingenieros y científicos. — M .: Fizmatlit , 2006. — S. 484-486. — 816 pág. — ISBN 5-9221-0707-0 .
Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. Métodos Estadísticos No Paramétricos . - Nueva York: John Wiley & Sons, 1973. - 503 p. — pág . 139–146 . — ISBN 9780471406358 .
Friedman, Milton . El uso de rangos para evitar la suposición de normalidad implícita en el análisis de varianza // Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística : revista. - American Statistical Association, 1937. - Diciembre ( vol. 32 , no. 200 ). - Pág. 675-701 . -doi : 10.2307/ 2279372. — .
Friedman, Milton. Una corrección: el uso de rangos para evitar la suposición de normalidad implícita en el análisis de varianza // Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística : revista. - American Statistical Association, 1939. - Marzo ( vol. 34 , no. 205 ). — Pág. 109 . -doi : 10.2307/ 2279169 . — .
Friedman, Milton. Una comparación de pruebas alternativas de significación para el problema de m clasificaciones // The Annals of Mathematical Statistics : diario. - 1940. - Marzo ( vol. 11 , no. 1 ). - P. 86-92 . -doi : 10.1214 / aoms/1177731944 . — .