Criterio de Eisenstein

El criterio de Eisenstein es un criterio para la irreductibilidad de un polinomio , llamado así por el matemático alemán Ferdinand Eisenstein . A pesar del nombre (tradicional), es precisamente un signo, es decir, una condición suficiente, pero no del todo necesaria, como se podría suponer, según el significado matemático de la palabra " criterio " (ver más abajo).

Redacción

Sea un polinomio sobre el anillo factorial R ( ), y para algún primo , se cumplen las siguientes condiciones: $a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ $n>0$ $pags$

$p\nmedio de_{n}$ (es decir, no divisible por ), $un$ $pags$
$p\mid a_{i}$ para cualquier i de 0 a n-1,
$p^{2}\nmedio de_{0}$ .

Entonces el polinomio es irreducible sobre F , el campo de fracciones del anillo R . $hacha)$

Este criterio se aplica con mayor frecuencia cuando R es el anillo de números enteros y F es el cuerpo de números racionales . $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Q}$

Prueba

Suponga lo contrario: , donde y son polinomios sobre F de grados distintos de cero. Del lema de Gauss se deduce que pueden considerarse polinomios sobre R. Tenemos: $a(x)=f(x)g(x)$ $f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}$ $g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}$

$a_{0}=b_{0}c_{0}$

Por suposición , y R es factorial, entonces o bien , pero no ambos, ya que . Sea y . Todos los coeficientes no pueden ser divisibles por , porque de lo contrario sería cierto para . Sea el índice mínimo para el cual no es divisible por . Esto implica: $p\mid a_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\mid c_{0}$ $p^{2}\nmedio de_{0}$ $p\mid b_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $f(x)$ $pags$ $hacha)$ $i$ $bi}$ $pags$

$a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{{i-1}}c_{1}+...$

Desde y para todos pues , pero esto es imposible, ya que por condición y . El teorema ha sido probado. $p\mid a_{i}$ $p\mid b_{j}$ $j<yo$ $p\mid b_{i}c_{0}$ $p\nmid c_{0}$ $p\nmid b_{i}$

Ejemplos

El polinomio es irreducible sobre $x^{3}+2$ ${\matemáticas Q}.$
El polinomio de división de círculos es irreducible. En efecto, si es reducible, entonces el polinomio también es reducible , y como todos sus coeficientes, excepto el primero, son binomiales, es decir, son divisibles por , ya que , y el último coeficiente tampoco es divisible por el criterio de Eisenstein , es irreductible, contrariamente a la suposición . $f(x)=x^{{p-1}}+x^{{p-2}}+...+1$ $f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{{p-1}}+C_{p}^{ 1}x^{{p-2}}+...C_{p}^{{p-1}}$ $pags$ $p|C_{p}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!)}$ $C_{p}^{{p-1}}=p$ $p^{2},$
El polinomio sobre es un ejemplo que muestra que el criterio de Eisenstein ( "existe una p tal que ...; entonces el polinomio es irreducible" ) es solo una condición suficiente, pero no necesaria. De hecho, el único divisor primo del término libre es , pero 4 es divisible por , por lo que el criterio de Eisenstein no es aplicable aquí. Por otro lado, como polinomio de tercer grado sin raíces racionales, este polinomio es irreducible. $x^{3}+4$ $\matemáticas {Q}$ $pag=2$ $2^{2}$