Raíz cúbica

La raíz cúbica de a , denotada como o como 1/3 , es el número cuyo cubo es igual a . En otras palabras, esta es una solución a la ecuación (generalmente se refieren a soluciones reales). ${\sqrt[{3}]{a))$ $X,$ $una.$ $x^{3}=a$

Raíz real

La raíz cúbica es una función impar . A diferencia de la raíz cuadrada , la raíz cúbica también se puede sacar de números negativos (para que se obtenga un resultado real):

{\raíz cuadrada[ {3}]{-x}}=-{\raíz cuadrada[ {3}]{x}}

Raíz compleja

La raíz cúbica de un número complejo distinto de cero tiene exactamente tres valores (un caso especial de la propiedad raíz enésima): $C$

{\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi } {3}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\dots \quad \varphi =\arg {c}.

Aquí, por medio de la raíz aritmética de un número positivo ${\sqrt[ {3}]{\izquierda|c\derecha|}}$ $\izquierda|c\derecha|.$

En particular

{\sqrt[ {3}]{1}}={\begin{casos}1\\\cos {{\frac {2\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {2\pi {3}}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {2\pi }{ 3}}}-i\sen {{\frac {2\pi }{3}}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2 }}\end{casos}}

{\sqrt[ {3}]{-1}}={\begin{casos}-1\\\cos {{\frac {\pi }{3}}}+i\sin {{\frac {\pi {3}}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\\\cos {{\frac {\pi }{3} }}-i\sen {{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\end {casos}}

Los dos valores complejos de la raíz cúbica se obtienen a partir de los reales mediante la fórmula:

{\sqrt[ {3}]{x}}_{{2,3}}={\sqrt[ {3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i {\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right).

Estos valores deben ser conocidos para poder resolver ecuaciones cúbicas utilizando la fórmula de Cardano .

Forma indicativa

El valor principal de la raíz de un número complejo se puede definir de la siguiente manera: $X$

x^{{1/3}}=\exp({\tfrac 13}\ln {x})

Donde ln es el valor principal del logaritmo natural .

Si se imagina como $X$

{\ estilo de visualización x = r \ exp (i \ theta)}

entonces la fórmula cúbica es:

{\sqrt[ {3}]{x}}={\sqrt[ {3}]{r}}\exp({\tfrac 13}i\theta ).

Esto geométricamente significa que en coordenadas polares tomamos la raíz cúbica con módulo y dividimos el ángulo polar del argumento original por tres. Entonces, si es complejo, entonces denotará no , pero será ${\ estilo de visualización {\ sqrt [{3}] {r))}$ $X$ ${\raíz cuadrada[ {3}]{-8}}$ $-2$ $1+i{\raíz cuadrada {3}}.$

Datos interesantes

La raíz cúbica no se puede sacar con compás y regla . Por eso los problemas clásicos reducibles a sacar una raíz cúbica son irresolubles: doblar un cubo , trisección de un ángulo , así como construir un heptágono regular .

A una densidad de materia constante, las dimensiones de dos cuerpos similares están relacionadas entre sí como las raíces cúbicas de sus masas. Entonces, si una sandía pesa el doble que otra, entonces su diámetro (así como su circunferencia) será solo un poco más de un cuarto (26%) mayor que el de la primera; y parecerá a simple vista que la diferencia de peso no es tan significativa. Por tanto, ante la ausencia de escamas (venta a ojo), suele ser más rentable comprar un fruto de mayor tamaño.

Métodos de cálculo

Columna

Antes de comenzar, debe dividir el número en tripletes (la parte entera, de derecha a izquierda, la parte fraccionaria, de izquierda a derecha). Cuando haya llegado al punto decimal, debe poner un punto decimal al final del resultado.

El algoritmo es:

Encuentre un número cuyo cubo sea menor que el primer grupo de dígitos, pero cuando se aumenta en 1, se vuelve más grande. Escribe el número encontrado a la derecha del número dado. Debajo escribe el número 3.
Escribe el cubo del número encontrado debajo del primer grupo de dígitos y resta . Escribe el resultado después de la resta debajo del sustraendo. A continuación, elimine el siguiente grupo de números.
A continuación, reemplazaremos la respuesta intermedia encontrada con la letra . Usa la fórmula para calcular un número tal que su resultado sea menor que el número de abajo, pero cuando se incrementa en 1, se vuelve más grande. Escribe lo que encontraste a la derecha de la respuesta. Si se alcanza la precisión requerida, detenga los cálculos. $a$ $300\veces a^{2}\veces x+30\veces a\veces x^{2}+x^{3}$ $X$ $X$
Escriba el resultado del cálculo por la fórmula debajo del número inferior y reste. Ir al punto 3. $300\veces a^{2}\veces x+30\veces a\veces x^{2}+x^{3}$

Véase también

Literatura

Korn G. , Korn T. 1.3-3. Representación de suma, producto y cociente. Grados y raíces // Manual de matemáticas. - 4ª edición. - M. : Nauka, 1978. - S. 32-33.