Lema de Borel-Cantelli

El lema de Borel-Cantelli en la teoría de la probabilidad es un resultado relativo a una secuencia infinita de eventos. El lema se usa a menudo para probar teoremas de límites. El lema generalmente se divide en dos afirmaciones, llamadas lemas de Borel-Cantelli primero y segundo.

Primer lema

Sean dados un espacio de probabilidad y una secuencia de eventos . Denotar $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty}}\subconjunto {\mathcal {F}}$

A=\limsup \limits_{{n\to \infty}}A_{n}\equiv \bigcap \limits_{{n=1}}^{{\infty}}\left(\bigcup \limits_ {m=n}}^{{\infty}}A_{m}\right)

Entonces, si la serie converge, entonces . $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty}}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\ matemáticas {P}} (A) = 0$

Segundo lema

Si todos los eventos son conjuntamente independientes y la serie diverge, entonces . $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty}}$ $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty}}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\ matemáticas {P}} (A) = 1$

Nota

En el primer lema de Borel-Cantelli no se requiere la independencia de los eventos.

Véase también

La ley del cero o del uno ;
teorema del mono infinito ;
Borel, Emilio ;
Cantelli, Francesco Paolo ;
Convergencia de Kuratowski

Enlaces

Prokhorov, AV (2001), Borel – Cantelli lemma , en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4