Morse lema

El lema de Morse es un enunciado que describe el comportamiento de una función real analítica o suave en una vecindad de un punto crítico no degenerado . Uno de los resultados simples pero más importantes de la teoría de Morse ; lleva el nombre del desarrollador de la teoría y quien estableció este resultado en 1925, el matemático estadounidense Marston Morse .

Redacción

Sea una función de la clase , donde , teniendo un punto como su punto crítico no degenerado, es decir, en este punto el diferencial desaparece, y la arpillera es distinta de cero. Entonces, en alguna vecindad del punto , existe un sistema de coordenadas locales -lisas (mapa) con origen en el punto , tal que para toda la igualdad [1] $f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ ${\ estilo de visualización C^{r+2}}$ $r\geq 1$ $0\en \mathbb{R} ^{n}$ $\frac{\f parcial}{\x parcial}$ ${\Bigl |}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))}{\Bigr |}$ $tu$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ Displaystyle C^{r}}$ $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ ${\ estilo de visualización 0}$ $x\en ti$

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\puntos -x_{k}^{2}+x_{{k+1}}^{2}+\puntos +x_{n }^{2}

En este caso , el número determinado por la firma de la parte cuadrática del germen en el punto se denomina índice del punto crítico de la función dada, un caso especial del concepto general del índice de Morse . $k$ $F$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 0}$

Variaciones y generalizaciones

Teorema de Toujron

En la vecindad de un punto crítico de multiplicidad finita , existe un sistema de coordenadas en el que una función suave tiene la forma de un polinomio de grado ( podemos tomar el polinomio de Taylor de la función en un punto en las coordenadas originales). En el caso de un punto crítico no degenerado, la multiplicidad y el teorema de Toujron se convierten en el lema de Morse [1] [2] . ${\ estilo de visualización 0}$ $\mu$ $f(x)$ $P_{{\mu+1}}(x)$ $\mu +1$ $P_{{\mu+1}}(x)$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $\mu=1$

Lema de Morse con parámetros

Sea una función suave que tiene como punto crítico el origen de coordenadas, no degenerada en las variables . Entonces, en una vecindad del punto , hay coordenadas suaves en las que $f(x_{1},\ldots,x_{n},y_{1},\ldots,y_{m}):\mathbb{R} ^{{n+m}}\to \mathbb{R}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ ${\ estilo de visualización 0}$

f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_ {1},\ldots,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

donde es alguna función suave. Esta afirmación nos permite reducir el estudio de una singularidad (punto crítico) de una función de variables al estudio de una singularidad de una función de un número menor de variables (es decir, del número de variables igual al corán del hessiano de la función original) [1] . $f_0$ $n+m$

La demostración de este enunciado se puede realizar por inducción sobre n utilizando el lema de Hadamard o de otra forma [1] .

Acerca de la evidencia

Por lo general, se demuestra mediante la construcción directa de un difeomorfismo [3] . Una prueba más conceptual utiliza el truco de Moser [4] .

Notas

↑ 1 2 3 4 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de asignaciones diferenciables.
↑ A. M. Samoilenko, Sobre la equivalencia de una función suave a un polinomio de Taylor en una vecindad de un punto crítico de tipo finito, Funkts. análisis y sus aplicaciones, 2:4 (1968), pp. 63-69.
↑ Milnor, J. Teoría Morse / Per. De inglés. V. I. Arnold . - 1965. - 184 págs.
↑ Palais, Richard S. "El lema de Morse para los espacios de Banach". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense 75.5 (1969): 968-971.

Literatura

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularidades de mapeos diferenciables. — M. : MTsNMO , 2009. — 672 p. - ISBN 978-5-94057-456-9 .

Darinsky B. M., Sapronov Yu .

Zorich V. A. Análisis matemático.

Milnor, J. Morse Teoría / Per. De inglés. V. I. Arnold . - 1965. - 184 págs.

Milnor, J. Morse Teoría / Per. De inglés. V. I. Arnold . - 1965. - 184 págs.

Hirsch M. Topología diferencial / Per. De inglés. DB Fuks.. - M. : Mir, 1979. - 279 p.

Takens F. Una nota sobre la suficiencia de los jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, n° 3, 1971, págs. 225-231.

Pavlova N.G., Remizov A.O. Una introducción a la teoría de la singularidad . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .