Lema de Hadamard

El lema de Hadamard ( en inglés Hadamard's lemma , en francés Lemme de Hadamard ) es un enunciado que describe la estructura de una función real suave. Nombrado en honor al matemático francés Jacques Hadamard [1] .

Sea una función de la clase , donde , definida en una vecindad convexa del punto . Entonces hay funciones de la clase , definidas en , tales que la igualdad se cumple para todo [1] $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle C^{r}}$ $r\geqslant 1$ $tu$ ${\ estilo de visualización 0}$ $g_{1},\;\ldots,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización C^{r-1}}$ $tu$ $x=(x_{1},\;\ldots,\;x_{n})\en U$

f(x_{1},\;\ldots,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{ i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}(0 ).

Si la función es analítica, entonces las funciones de la fórmula anterior son analíticas. $F$ ${\displaystyle g_{1},\;\ldots,\;g_{n))$

Redacción generalizada

El lema de Hadamard se puede formular de una forma más general, cuando algunas de las variables juegan el papel de parámetros:

Sea una función de la clase , donde , definida en una vecindad convexa del punto , y . Entonces hay funciones de la clase definidas en tal que la igualdad se cumple para todos $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle C^{r}}$ $r\geqslant 1$ $tu$ ${\ estilo de visualización 0}$ $x=(x_{1},\;\ldots,\;x_{n})$ $y=(y_{1},\;\ldots,\;y_{m})$ $g_{1}(x,\,y),\;\ldots,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R } ^{m}\a \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización C^{r-1}}$ $tu$ ${\ estilo de visualización (x, \, y) \ en U}$

f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\, y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}(0,\,y).

prueba _

Considere la función auxiliar , donde es una variable real adicional (parámetro). Vamos a correr a través de los valores del segmento , luego la función , considerada como una función para cada valor fijo del parámetro , corre en el espacio de funciones de variables alguna curva con extremos y . $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots,\,y_{m})$ $t$ $t$ ${\ estilo de visualización [0, \, 1]}$ ${\ estilo de visualización f (tx, \, y)}$ $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ $t$ $n+m$ ${\ estilo de visualización f (0, \, y)}$ ${\ estilo de visualización f (x, \, y)}$

Considerando en función de la variable dependiente de los parámetros y , y aplicando la fórmula de Newton-Leibniz , podemos escribir: ${\ estilo de visualización f (tx, \, y)}$ $t$ ${\ estilo de visualización x \ en R ^ {n}}$ ${\ Displaystyle y \ en R ^ {m}}$

f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt))\, dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}(tx, \,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),

dónde

g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}(tx,\,y) \,dt.

La suavidad requerida de las funciones se deriva del conocido teorema sobre la diferenciación de una integral en función de un parámetro, que se demuestra en el curso del análisis matemático. $g_{i}(x,\,y)$

Aplicaciones

El lema de Hadamard nos permite obtener una serie de consecuencias útiles que encuentran aplicaciones en varias ramas de las matemáticas, principalmente en la teoría de las singularidades .

El lema de Morse se demuestra fácilmente usando el lema de Hadamard .
Otra consecuencia útil del lema de Hadamard (en su forma generalizada) es que si el germen de una función suave se desvanece en el hiperplano , entonces puede representarse como donde hay alguna función suave. $f(x,\,y_{1},\,\ldots,\,y_{m})$ $x=0$ $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots,\,y_{m}),$ $gramo$
Esto implica que el germen de cualquier función suave tiene la representación donde y son funciones suaves. $f(x,\,y_{1},\,\ldots,\,y_{m})$ $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots,\,y_ {metro}),$ $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots,\,y_{m})$ $gramo$
Usando induction , también es fácil obtener una idea más general desde aquí:

f=f_{0}(y_{1},\,\ldots,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots,\,y_{ m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x, \,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),

donde y son funciones suaves y es un número natural arbitrario. $f_{i}(y_{1},\,\ldots,\,y_{m})$ $gramo$ $norte$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Zorich VA Análisis matemático.

Literatura

Zorich V. A. Análisis matemático.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Una introducción a la teoría de la singularidad . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .