Lema de zorn

El lema de Zorn (a veces el lema de Kuratowski-Zorn ) es uno de los enunciados equivalentes al axioma de elección , junto con el teorema de Zermelo (el principio del buen orden) y el principio máximo de Hausdorff (que, de hecho, es una formulación alternativa del lema de Zorn).

Lleva el nombre del matemático alemán Max Zorn , a menudo también se menciona bajo el nombre del matemático polaco Kazimir Kuratowski , quien formuló una declaración similar antes .

Declaración : Un conjunto parcialmente ordenado en el que cualquier cadena tiene un límite superior contiene un elemento máximo . Hay una serie de formulaciones alternativas equivalentes de .

Historia

Enunciados similares y equivalentes al lema de Zorn fueron propuestos por matemáticos mucho antes que Zorn. Así, en 1904, Ernst Zermelo demostró un teorema según el cual todo conjunto puede estar bien ordenado . Para probarlo, invocó "un principio lógico indiscutible", al que llamó axioma de elección . El principio del máximo de Hausdorff , formulado y probado por él en 1914 , es una formulación alternativa y anterior al lema de Zorn.

En 1922, Kuratovsky probó el lema en una formulación cercana a la moderna (para una familia de conjuntos ordenados por inclusión y cerrados bajo la unión de cadenas bien ordenadas). Prácticamente la misma afirmación (en una formulación más débil, no para cadenas completamente ordenadas, sino para cadenas arbitrarias) fue formulada de forma independiente por Zorn en 1935 en el artículo "Sobre un método de álgebra transfinita". El mismo Zorn lo llamó el " principio del máximo ", sugirió incluirlo en los axiomas de la teoría de conjuntos y usarlo para probar varios teoremas de la teoría de campos en lugar del principio de ordenamiento correcto de Zermelo.

El nombre "lema de Zorn" fue introducido por primera vez por John Tukey en 1940 .

Formulaciones

Hay varias formulaciones alternativas del lema de Zorn.

Redacción básica:

Si en un conjunto parcialmente ordenado para cualquier subconjunto ordenado linealmente hay un límite superior, entonces hay un elemento máximo en. $METRO$ $METRO$

Vale la pena entender qué significa exactamente esta redacción. La condición para la existencia de un límite superior para cada subconjunto ordenado linealmente no requiere que este límite se encuentre necesariamente en este subconjunto mismo. Solo requiere que el límite superior esté contenido en todo el conjunto . El elemento máximo se entiende aquí en el sentido de que no es inferior a todos aquellos con los que es comparable. No tiene que ser mayor o igual que ningún elemento. Por ejemplo, un elemento que sea incomparable con cualquier otro elemento del conjunto será el máximo. $METRO$ $METRO$

La formulación principal del lema de Zorn se puede reforzar.

Redacción mejorada:

Si en un conjunto parcialmente ordenado para cualquier subconjunto ordenado linealmente hay un límite superior, entonces para cada elemento hay un elemento máximo del conjunto mayor o igual que el elemento . $METRO$ ${\ estilo de visualización a \ en M}$ $METRO$ $a$

La formulación básica afirma la existencia de un elemento que, para cada elemento individual , es mayor o igual o incomparable con él. La formulación reforzada afirma la existencia de cada uno de tales elementos que es mayor o igual que , y al mismo tiempo para todos los demás elementos es mayor o igual que o incomparable. Es decir, para cada elemento específico, puede seleccionar el máximo tal que sea mayor o igual a él. Este elemento máximo puede ser diferente dependiendo del elemento en particular . ${\ estilo de visualización a \ en M}$ $a$ ${\ estilo de visualización a \ en M}$ $a$ $a$

En el artículo original de 1935, Zorn formuló una declaración para conjuntos parcialmente ordenados por inclusión.

Declaración para una familia de conjuntos:

Si una familia de conjuntos tiene la propiedad de que la unión de cualquier cadena de conjuntos es nuevamente un conjunto de esta familia, entonces contiene un conjunto maximal. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Esta formulación obviamente se deriva de la principal. Al mismo tiempo, como puede verse, incluso para familias de conjuntos, es más débil que el principal, ya que requiere la presencia en la familia de solo la unión de conjuntos, y no de un superconjunto arbitrario.

A pesar de que algunas de las formulaciones son más fuertes y otras más débiles, las 3 formulaciones del lema de Zorn son equivalentes en el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel . La prueba de esto está en el artículo Enunciados equivalentes al Axioma de Elección .

Aplicaciones

En muchos problemas, el lema de Zorn es la más conveniente de todas las formulaciones equivalentes al axioma de elección; en particular, se usa en la demostración de los siguientes teoremas:

el teorema de Hahn-Banach sobre la extensión de un funcional lineal;
teorema sobre la existencia de la base de Hamel en un espacio lineal arbitrario ;
el teorema de Tikhonov ;
un teorema sobre la existencia de una clausura algebraica de un campo arbitrario ;
teorema sobre la existencia de un ideal maximal en un anillo con unidad .

Literatura

Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — M .: Nauka, 1977. — 368 p.
Yosida K. Análisis funcional. - M. : Mir, 1967. - cap. IV, V, 616 págs.
Kolmogorov AN, Fomin SV Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - 7ª ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Conferencias sobre álgebra general. - 2ª ed. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
Hausdorff F. Teoría de conjuntos. - 4ª ed. - M. : URSS, 2007. - 304 p. - ISBN 978-5-382-00127-2 .