Lema sobre segmentos anidados

El lema de los segmentos anidados , o principio de los segmentos anidados de Cauchy-Cantor [1] , o principio de continuidad de Cantor [2] , es un enunciado fundamental en el análisis matemático asociado con la completitud del campo de los números reales .

Redacción

Para cualquier sistema de segmentos anidados

[a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots \supset [a_{n},b_{n}]\supset \ldots

hay al menos un punto que pertenece a todos los segmentos del sistema dado. $C$

Si, además, la longitud de los segmentos del sistema tiende a cero:

\lim _{{n\to \infty}}(b_{n}-a_{n})=0

entonces es el único punto común de todos los segmentos del sistema dado. $C$

Nota

Los segmentos en la formulación del teorema no pueden ser reemplazados por intervalos abiertos. Por ejemplo,

\bigcap \limits _{n=1}^{\infty}\left(0,{\frac {1}{n))\right)=\varnothing

Prueba

1) Existencia de un punto común. El conjunto de los extremos izquierdos de los segmentos se encuentra en la línea real a la izquierda del conjunto de los extremos derechos de los segmentos , porque $\{un}\}$ $\{b_{m}\}$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant b_{m}

En virtud del axioma de continuidad , hay un punto que separa estos dos conjuntos, es decir $C$

\forall n,m\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{m}

En particular

\forall n\;a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}

La última desigualdad significa que es un punto común de todos los segmentos del sistema dado. $C$

2) Unicidad de un punto común. Deje que la longitud de los segmentos del sistema tienda a cero. Demostremos que solo hay un punto que pertenece a todos los segmentos del sistema. Suponga lo contrario: sean dos puntos diferentes y , pertenecientes a todos los segmentos del sistema: $C$ $C'$

\forall n\;\;c,c'\in [a_{n},b_{n}],\quad c\neq c'

Entonces las siguientes desigualdades se cumplen para todos los números: $norte$

|cc'|\leqslant b_{n}-a_{n}

En virtud de la condición de que las longitudes de los segmentos tiendan a cero para cualquier número , a partir de uno determinado, la desigualdad $\varepsilon >0$ $norte$

b_{n}-a_{n}<\varepsilon

Tomando esta desigualdad , obtenemos $\varepsilon ={\frac{1}{2}}|cc'|>0$

|cc'|<{\frac{1}{2}}|cc'|

Contradicción. El lema está completamente probado.

El lema del intervalo anidado y la completitud (continuidad) del campo de los números reales

El lema del intervalo anidado está estrechamente relacionado con la continuidad (completitud) del campo de los números reales . Por lo tanto, la prueba anterior del lema se basó esencialmente en el axioma de continuidad . Se puede demostrar que si el campo ordenado no es continuo, entonces el principio de los segmentos anidados puede no cumplirse. Por ejemplo, si tomamos el campo de los números racionales , que no es continuo, y consideramos una secuencia de segmentos anidados

[1;2],[1{,}4;1{,}5],[1{,}41;1{,}42],[1{,}414;1{,}415],\ldots

cuyos extremos son aproximaciones decimales de un número irracional con una deficiencia y un exceso, respectivamente, con una precisión de , resulta que este sistema de segmentos anidados no tiene un punto común. ${\ sqrt {2}}$ $1/10^{n},\;n=0,1,2,\l puntos$

Además, se puede demostrar que el principio de intervalo anidado es una de las formulaciones equivalentes de continuidad de campo (y por lo tanto se llama principio de continuidad de Cantor ). Más precisamente, la siguiente proposición se cumple [2] . Para cualquier campo de Arquímedes ordenado , el principio de los segmentos anidados implica la continuidad de este campo.

Notas

↑ Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I. - Ed. 4to, rev. - M. : "MTsNMO", 2002. - S. 81.
↑ 1 2 Kudryavtsev L. D. Curso de análisis matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - S. 84.

Literatura

Kamynin L. I. Análisis matemático. T. 1, 2. - 2001.
Kudryavtsev L. D. Curso de Análisis Matemático. - 5ª ed. - M. : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .