Campo ordenado

Un campo ordenado es un campo algebraico , para todos los elementos de los cuales se define un orden lineal , consistente con las operaciones del campo. Los ejemplos más importantes en la práctica son los campos de los números racionales y reales . El término fue propuesto por Artin en 1927.

Definición

Sea un campo algebraico y se define un orden lineal para sus elementos , es decir, se da una relación (menor o igual que) con las siguientes propiedades: $F$ $\leqslant$

Reflexividad : . $x \leqslant x$
Transitividad : si y , entonces . $x \leqslant y$ $y\leqslant z$ $x\leqslant z$
Antisimetría : si y , entonces . $x \leqslant y$ $y\leqslant x$ $x=y$
Linealidad: todos los elementos son comparables entre sí, es decir, o , o . $F$ $x \leqslant y$ $y\leqslant x$

Además, requerimos que el orden sea consistente con las operaciones de suma y multiplicación:

Si , entonces para cualquier z : . $x \leqslant y$ $x+z\leqslant y+z$
Si y , entonces . $0\leqslant x$ $0\leqslant y$ $0 \leqslant xy$

Si se cumplen los 6 axiomas, entonces el campo se llama ordenado . $F$

Definiciones relacionadas

Para facilitar la notación, se introducen relaciones secundarias adicionales:

Una razón mayor o igual que : significa que .

x\geqslant y

y\leqslant x

La razón mayor que : significa que y .

x>y

x\geqslant y

x\ney

Una razón menor que : significa que .

x<y

y > x

Una fórmula con cualquiera de estas 4 relaciones se llama desigualdad .
Los elementos mayores que cero se llaman positivos , mientras que los menores que cero se llaman negativos . También puede definir el valor absoluto de un elemento como . $|x|$ $X$ $máx(x, -x)$

Construcción constructiva de la orden

Una forma de definir un orden lineal en un campo F es seleccionar un subconjunto de números positivos P que sea cerrado bajo la suma y la multiplicación y que tenga la siguiente propiedad. los tres subconjuntos , cero y no se cruzan y juntos forman una partición de todo el campo. $PAGS$ $-PAGS$

Que se distinga tal P. Denote (este conjunto también está cerrado bajo la suma y la multiplicación) y defina un orden lineal en F de la siguiente manera: $P_0 =P \taza \{0\}$

x \leqslant y

, si

yx \in P_0

Entonces se satisfacen todos los axiomas de orden anteriores. Cualquier campo ordenado se puede construir usando el procedimiento descrito.

Propiedades

Cada elemento de un campo ordenado pertenece a una y solo una de tres categorías: positivo, negativo, cero. Si es positivo, entonces negativo, y viceversa. $X$ $-X$
En cualquier campo ordenado , y el cuadrado de cualquier elemento distinto de cero es positivo. $1>0$
Se pueden sumar desigualdades similares:

Si y , entonces .

x \leqslant y

x' \leqslant y'

x+x'\leqslant y+y'

Las desigualdades se pueden multiplicar por elementos positivos:

Si y , entonces .

x \leqslant y

c \geqslant 0

{\ Displaystyle cx \ leqslant cy}

Orden no único

En términos generales, un campo se puede ordenar de muchas maneras. Ejemplo: considere un campo de números de la forma , donde son números racionales. Además del orden habitual, este campo también se puede definir de la siguiente manera: incluyamos en el "subconjunto de números positivos" aquellos números para los que . Es fácil comprobar que se cumplen las condiciones dadas en el apartado de construcción constructiva del pedido [1] . $a+b{\raíz cuadrada {2}}$ $a, b$ $PAGS$ $a+b{\raíz cuadrada {2}}$ $a>b{\sqrt {2}}$

Lugar en la jerarquía de estructuras algebraicas

Un subcampo de un campo ordenado hereda su orden principal y, por lo tanto, también es un campo ordenado.
La característica de un campo ordenado es siempre cero.
- En particular, un campo finito no admite orden.
Un campo admite ordenación si y sólo si no puede representarse como la suma de los cuadrados de los elementos del campo. Por lo tanto, no se puede extender el orden real a los números complejos . $-una$
El campo ordenado más pequeño es el campo de números racionales , que solo se puede ordenar de una manera. Este o un campo racional isomorfo a él está contenido como subcampo en cualquier otro campo ordenado.
Si un campo ordenado no contiene un elemento mayor que todos los elementos de un campo racional, el campo se llama arquimediano [2] . El máximo campo ordenado de Arquímedes es el campo de los números reales ; cualquier otro campo ordenado de Arquímedes es isomorfo a uno de los subcampos . $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {R}$
Cualquier campo ordenado se puede incrustar en un campo ordenado de números surrealistas conservando el orden.

Ejemplos

Numeros racionales
Numeros reales
números algebraicos reales
Campo de funciones racionales reales : , donde son polinomios , . Vamos a organizarlo de la siguiente manera. ${\frac{p(x)}{q(x)))$ ${\ estilo de visualización p (x), q (x)}$ ${\ estilo de visualización q (x) \ neq 0}$
- Supongamos que la función , si . Las constantes reales (como polinomios de orden cero) se ordenan de la manera tradicional. $p(x)=p_{0}x^{n}+\dots +p_{n};\quad q(x)=q_{0}x^{m}+\dots +q_{m} .$ ${\frac{p(x)}{q(x)}}>0$ ${\frac{p_{0}}{q_{0}}}>0$
- De la definición se deduce que el polinomio es mayor que cualquier constante, es decir, el
axioma de Arquímedes no se cumple para este campo, el campo no es arquimediano. El mismo campo también admite un orden de Arquímedes, por ejemplo, si consideramos como positivas aquellas funciones (fracciones) para las cuales [3] . $p(x)=x$ $r(x)$ $r(\pi)>0$

Los números hiperreales son otro ejemplo de un campo no arquimediano.

Como se mencionó anteriormente, el campo de los números complejos no admite un orden que extienda el orden de los números reales. Sin embargo, se pueden ordenar algunos subcampos complejos. Considere, por ejemplo, un campo generado al agregar un número al campo de números racionales , una de las raíces complejas del polinomio . Este campo es isomorfo al campo real , por lo que se le puede transferir el orden real habitual [3]

\mathbb{Q}[\theta]

\matemáticas {Q}

\ theta

{\ estilo de visualización x^{3}-2}

\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]

Ejemplos de campos desordenados

Literatura

Bourbaki N. Álgebra. Polinomios y campos. Grupos ordenados. Moscú: Nauka, 1965.
Van der Waerden B. L. Álgebra. 2ª ed., M.: Nauka, 1979, 469 p.
Leng S. Álgebra. M: Mir, 1968.
Nechaev V. I. Sistemas numéricos. - M. : Educación, 1975. - 199 p. .

Notas

↑ Nechaev V.I. Sistemas numéricos, 1975 , p. 93.
↑ Nechaev V.I. Sistemas numéricos, 1975 , p. 93-94.
↑ 1 2 Nechaev V. I. Sistemas numéricos, 1975 , p. 94.