Potencial logarítmico

El potencial logarítmico es la función definida en ℝ 2 como la convolución de la función generalizada ρ con la función -ln| z |:

V=-\rho\ln |z|.

El potencial logarítmico satisface la ecuación de Poisson Δ V = −2πρ. Por analogía con el potencial newtoniano , podemos considerar tres casos particulares del potencial logarítmico.

Significado físico

El significado físico de los potenciales logarítmicos es que corresponden al potencial creado por cargas (o masas ) en electrostática bidimensional (o gravedad newtoniana bidimensional) distribuidas con una densidad (bidimensional) ρ. Desde el punto de vista de la electrostática tridimensional convencional, estamos hablando de un potencial electrostático creado por una distribución de carga que tiene simetría de traslación a lo largo de uno de los ejes espaciales (a lo largo del eje ortogonal al plano, las coordenadas cartesianas en las que hay componentes del vector z - o sus partes real e imaginaria, si se considera z como un número complejo), es decir, la distribución de cargas, independiente de la tercera coordenada, constante a lo largo de ella (el potencial del hilo cargado).

El potencial de la zona

V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .

Si , entonces el potencial mismo es armónico en y ${\ estilo de visualización \ rho (z) \ en C ({\ overline {G)))}$ $V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({ \frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Aquí, como se hace a menudo, se entiende la representación como un plano complejo; sin embargo, en el marco de las definiciones, esto no es esencial, y en ese sentido, aquí se pueden reemplazar las variables complejas simplemente por vectores bidimensionales, y el módulo de un número complejo por la norma euclidiana en , y si además es complejo, uno puede considerar sus partes real e imaginaria por separado. $\matemáticas {R} ^{2}$ ${\ estilo de visualización \ zeta, \ z}$ $\matemáticas {R} ^{2}$ $\rho$

Potencial logarítmico de una capa simple

V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta}.

Si , entonces el potencial mismo es armónico en y ${\ estilo de visualización \ mu (z) \ en C (S)}$ $V^{(0)}(z)\in C(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus S$

V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\ izquierda({\frac {1}{|z|}}\derecha),\ |z|\rightarrow \infty .

Si S es la curva de Lyapunov , entonces el potencial tiene derivadas, y su discontinuidad se observa en la propia curva:

\left({\frac {\parcial V^{(0)}}{\parcial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z )+{\frac {\parcial V^{(0)}(z)}{\parcial \mathbf {n} )),

\left({\frac {\parcial V^{(0)}}{\parcial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z) +{\frac {\parcial V^{(0)}(z)}{\parcial \mathbf {n} )).

Potencial logarítmico de doble capa

V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\parcial }{\parcial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\parcial }{\parcial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1} {|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}} dS_{\zeta},

donde φ es el ángulo entre la normal en el punto ζ y el radio vector dibujado a este punto desde el punto z .

Si , entonces el potencial mismo es armónico en y ${\ estilo de visualización \ nu (z) \ en C (S)}$ $V^{(1)}(z)$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Si S es la curva de Lyapunov , entonces:

V^{(1)}\in C({\overline {G)))\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)

V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),

V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).

Si, además, la densidad es un valor constante, el potencial es igual a

V^{(1)}={\begin{casos}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\z\in S,\\0,\ z \in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{casos}}

Véase también

Literatura

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuaciones de física matemática. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
UN. Tijonov, A.A. Sámara. Ecuaciones de la física matemática. — M.: Nauka, 1972.

Enlaces

[bse.sci-lib.com/article091961.html Potencial en la Gran Enciclopedia Soviética]