Función armónica

Una función armónica es una función real , definida y diferenciable dos veces continuamente en un espacio euclidiano (o su subconjunto abierto), que satisface la ecuación de Laplace : $tu$ $D$

\DeltaU=0,\

donde es el operador de Laplace , es decir, la suma de las segundas derivadas con respecto a todas las coordenadas cartesianas rectangulares x i ( n = dim D es la dimensión del espacio ). $\Delta =\sum_{{i=1}}^{n}{\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x_{i}^{2}}}$

Por ejemplo, la función armónica es el potencial electrostático en puntos donde no hay carga .

Propiedades

El principio máximo

La función U, que es armónica en la región , alcanza su máximo y mínimo solo en la frontera . Así, una función armónica no puede tener un extremo local en un punto interior , excepto en el caso trivial de una constante en la función. Sin embargo, la función puede no estar definida en el límite, por lo que es más correcto decir $D$ $\parcial D$ $D$ $\forall m\in D\inf _{{Q\in D}}U(Q)<U(m)<\sup_{{Q\in D}}U(Q)$

Teorema de Liouville

Una función armónica definida en y acotada por encima o por debajo es constante . $\mathbb{R} ^{n}$

La propiedad media

Si una función es armónica en alguna bola centrada en el punto , entonces su valor en el punto es igual a su valor promedio a lo largo del límite de esta bola o sobre la bola: $tu$ $B(x_{0})$ $x_{0}$ $x_{0}$

u(x_{0})={\frac {1}{\mu (\parcial B)))\int \limits _({\parcial B))udS={\frac {1}{\mu (B) }}\int \limits_{{B}}udV

donde es el volumen de la esfera y es el área de su límite. $\mu (B)$ $B(x_{0})$ $\mu (\parcial B)$

Por el contrario, cualquier función continua que tenga la propiedad media para todas las bolas que se encuentran en una cierta región es armónica en esta región.

Diferenciabilidad

Una función que es armónica en un dominio es infinitamente diferenciable en él.

Desigualdad de Harnack

Si la función , que es armónica en una bola k-dimensional de radio centrada en algún punto , es no negativa en esta bola, entonces las siguientes desigualdades valen para sus valores en los puntos dentro de la bola bajo consideración: , donde [1 ] . $U(M)=U(x_{1},...x_{k})$ $Q_{r}$ $R$ $M_{0}$ $METRO$ ${{R^{{k-2}}}{{\frac {Rr}{(R+r)^{{k-1}}}}}U(M_{0})}\leq {U(M )}\leq {R^{{k-2}}{\frac {R+r}{(Rr)^{{k-1}}}}U(M_{0})}$ $r=\rho (M_{0},M)<R$

Teorema de Harnack

Sean funciones armónicas positivas en algún dominio . Si la serie converge al menos en un punto de la región , entonces converge uniformemente en el interior . $v_{n}(z)$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty}v_{{n}}(z)$ $D$ $D$

Funciones armónicas en el plano complejo

En el plano complejo , las funciones armónicas están estrechamente relacionadas con las funciones holomorfas . En particular, se cumple la siguiente afirmación: para un dominio arbitrario en , si esta es una función holomorfa en , entonces es una función armónica en . $h:\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ $D$ $\matemáticas {C}$ $F$ $D$ $h=\operatorname {Re} (f)$ $D$

La afirmación contraria también es válida. Si es una función armónica sobre un dominio simplemente conexo , entonces para una única, hasta una constante, holomorfa sobre la función . $h$ $D$ $h=\operatorname {Re} (f)$ $D$ $F$

Véase también

Notas

↑ AF Timan, V. N. Trofimov Introducción a la teoría de las funciones armónicas. Moscú: Nauka, 1968

Literatura

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