Matriz de distancia
La matriz de distancias es una matriz cuadrada objeto a objeto (de orden n ), que contiene como elementos las distancias entre objetos en un espacio métrico .
Propiedades
Las propiedades de la matriz son un reflejo de las propiedades de las propias distancias [1] :
- simetría sobre la diagonal, es decir ;
- el reflejo de la propiedad de identidad de distancia en la matriz de distancia se manifiesta en presencia de 0 a lo largo de la diagonal de la matriz, ya que la distancia del objeto consigo mismo es obviamente 0, y también en presencia de cero valores para absolutamente similares objetos;
- los valores de distancia en la matriz siempre son no negativos
- la desigualdad triangular toma la forma para todo , y .
En general, la matriz se ve así:
En un sentido amplio, las distancias son un reflejo de un concepto como diferencia , que es dual al concepto de similitud , y los elementos de la matriz de diferencia (en términos generales, matrices de divergencia) son duales a los elementos de la matriz de similitud ( en general, matrices de convergencia ). La relación entre una medida de similitud y una medida de diferencia se puede escribir como , donde F es una medida de diferencia; K es una medida de similitud. Por lo tanto, todas las propiedades de medida de similitud se pueden extrapolar a sus medidas de diferencia correspondientes usando una transformación simple y viceversa.
Visualmente, las relaciones entre los objetos se pueden representar utilizando algoritmos de agrupación de gráficos . Podemos decir que las distancias se usan con mucha más frecuencia que las medidas de similitud: se implementan con mayor frecuencia en programas estadísticos ( Statistica , SPSS , etc.) en el módulo de análisis de conglomerados .
Distancias
Se sabe [2] que existe una medida generalizada de distancias propuesta por Hermann Minkowski :
![{\displaystyle d_{ij}=\left[\sum _{k=1}^{n}\left|x_{ik}-x_{jk}\right|^{p}\right]^{\frac { 1}{p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940a751799820cd1c031db74e80b327a1ae130d3)
La familia de distancias anterior incluye:
- en p = 1 - " distancia de Manhattan " ("distancia de los bloques de la ciudad", inglés city-block ), o " -norma". La medida de Hamming generalizada [3] [4] en la notación teórica de conjuntos (después de la normalización) se puede representar como y ser la medida dual de similitud absoluta .
- para p = 2 , la distancia euclidiana . El cuadrado de esta distancia también se usa a menudo.
- como p → ∞ , es una métrica superior o una métrica de "dominancia". También conocida como distancia de Chebyshev .
Hay distancias usadas fuera de esta familia. La más conocida es la distancia de Mahalanobis .
También es interesante, como buena ilustración de la conexión entre medidas de similitud y diferencia, la distancia de Yurtsev , dual a la medida de similitud Brown-Blanque [5] :
Ejemplo
Hay seis puntos diferentes en el plano (ver imagen). Se eligió como métrica la distancia euclidiana en píxeles .
La matriz de distancia correspondiente será igual a
| a | b | C | d | mi | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a | 0 | 184 | 222 | 177 | 216 | 231 |
| b | 184 | 0 | 45 | 123 | 128 | 200 |
| C | 222 | 45 | 0 | 129 | 121 | 203 |
| d | 177 | 123 | 129 | 0 | 46 | 83 |
| mi | 216 | 128 | 121 | 46 | 0 | 83 |
| F | 231 | 200 | 203 | 83 | 83 | 0 |
La matriz resultante se puede representar como un mapa de calor . Aquí, un color más oscuro corresponde a una menor distancia entre puntos.
Notas
- ↑ Schrader, Yu. A. ¿Qué es la distancia? . — M .: Fizmatgiz , 1963. — 76 p.
- ↑ Kim, J.-O. , Muller, C.W., Klekka , W.R. , Oldenderfer, M.S. , Blashfield, R.K. Análisis factorial, discriminante y de conglomerados. - M. : Finanzas y estadísticas, 1989. - 215 p. — ISBN 5-279-00247-X .
- ↑ Sokal, R. R. , Sneath, P. H. A. Principios de taxonomía numérica . — San Francisco, Londres: W. H. Freeman and Co., 1963 . — 359 pág.
- ↑ Godron, M. Quelques aplicaciones de la noción de frecuencia en ecologie végétale (francés) // Oecol. Planta.. - 1968. - Vol. 3 , nº 3 . _ - pág. 185-212 .
- ↑ Semkin, B. I. Al método de análisis de conjuntos de diferentes tamaños en floristería comparativa // Lecturas de Komarov. - 2009. - Edición. LVI . - S. 170-185 .