Método de campo autoconsistente

La teoría del campo medio o la teoría del campo autoconsistente es un enfoque para estudiar el comportamiento de sistemas estocásticos grandes y complejos en física y teoría de la probabilidad a través del estudio de modelos simples. Dichos modelos consideran numerosos componentes pequeños que interactúan entre sí. La influencia de otros componentes individuales en un objeto dado se aproxima mediante un efecto promedio, por lo que el problema de muchos cuerpos se reduce a un problema de una sola partícula.

La idea fue desarrollada por primera vez en física en los trabajos de Pierre Curie [1] y Pierre Weiss , quienes describieron la transición de fase [2] . Enfoques similares han encontrado aplicación en modelos epidémicos [3] , teoría de colas [4] , análisis de redes informáticas y teoría de juegos [5] .

El problema de muchos cuerpos, teniendo en cuenta la interacción entre ellos, es difícil de resolver, salvo en los casos más sencillos (la teoría de los campos aleatorios, el modelo unidimensional de Ising ). Por lo tanto, el sistema de N -cuerpos se reemplaza por un problema de una partícula con un potencial externo bien elegido, que reemplaza la acción de todas las demás partículas con la elegida. Es más difícil (por ejemplo, al calcular la función de distribución en mecánica estadística ) tener en cuenta las permutaciones al calcular la interacción en el hamiltoniano al sumar todos los estados. El propósito de la teoría del campo medio es eludir el enfoque combinatorio. En diversos campos de la ciencia, la teoría del campo medio es conocida por sus propios nombres, entre los que se encuentran la aproximación de Bragg-Williams, el modelo de celosía de Bethe, la teoría de Landau , la aproximación de Pierre-Weiss, la teoría de las soluciones de Flory-Guggins, o la teoría de Schuytjens-Fleur.

La idea principal de la teoría del campo medio es reemplazar todas las acciones sobre un cuerpo elegido con una interacción promedio o efectiva, que a veces se denomina campo molecular [6] . Esto reduce cualquier problema de muchos cuerpos a un problema eficiente de una partícula. La facilidad para resolver el problema de la teoría del campo medio implica obtener un cierto conocimiento sobre el comportamiento del sistema a un coste relativamente bajo.

En la teoría de campo clásica, la función hamiltoniana se puede expandir en una serie utilizando la magnitud de las fluctuaciones cerca del campo medio como parámetro de expansión. Entonces, el campo medio puede considerarse como el orden cero de esta expansión. Esto significa que la teoría del campo medio no contiene fluctuaciones, pero esto corresponde al hecho de que las interacciones se reemplazan por un campo medio. Muy a menudo, en el estudio de las fluctuaciones, la teoría del campo medio es una plataforma de lanzamiento para el estudio de las fluctuaciones de primer o segundo orden.

En general, determinar qué tan bien funcionará la aproximación del campo medio para un problema en particular depende en gran medida de la dimensión. En la teoría del campo medio, numerosas interacciones son reemplazadas por una acción efectiva. Entonces, naturalmente, si el campo o la partícula en el sistema inicial tiene muchos compañeros de interacción, entonces la teoría del campo medio será efectiva. Esto es cierto para grandes dimensiones, donde la función de Hamilton incluye fuerzas con un gran radio de acción o cuando las partículas se extienden (por ejemplo, polímeros). El criterio de Ginzburg es una expresión formal de cómo las fluctuaciones hacen que la aproximación del campo medio sea mala, a menudo dependiendo de la dimensión espacial del sistema.

Si bien la teoría del campo medio se ha desarrollado en la mecánica estadística, también ha encontrado aplicaciones en otros campos, como la interferencia, la teoría de grafos , la neurociencia y el estudio de la inteligencia artificial .

Enfoque formal

El enfoque formal de la teoría del campo medio se basa en la desigualdad de Bogolyubov . Ella afirma que la energía libre de un sistema con una función hamiltoniana

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

tiene un límite superior

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle_{0}-TS_{0}

donde es la entropía , y el promedio se realiza sobre el conjunto de equilibrio del sistema con la función de Hamilton . En un caso especial, cuando la función principal de Hamilton describe un sistema sin interacción, y por lo tanto se puede escribir como ${\ Displaystyle S_ {0}}$ ${\mathcal {H}}_{0}$

{\mathcal {H}}_{0}=\sum_{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi_{i}\right)

donde es una abreviatura del grado de libertad de los componentes individuales del sistema estadístico (átomos, espines, etc.), podemos considerar refinamientos del límite superior minimizando el lado derecho de la desigualdad. La minimización del sistema principal es entonces la mejor aproximación al dado. Se conoce como la aproximación del campo medio. ${\ estilo de visualización \ izquierda (\ xi _ {i} \ derecha)}$

La mayoría de las veces, la función de Hamilton del sistema a investigar contiene solo interacciones por pares, es decir,

{\mathcal {H}}=\sum_{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi_{ j}\derecho)

donde es el conjunto de interacciones de pares. Entonces el procedimiento de minimización puede llevarse a cabo formalmente. Se define como una suma generalizada de observables sobre los grados de libertad de un componente (la suma para cantidades discretas, la intergal para continuas). La energía libre se da aproximadamente como ${\ matemáticas {P}}$ ${\rm {Tr))_{i}f(\xi _{i})$ $F$

$F_{0}=\,\!$	${\rm {Tr))_{1,2,..,N}{\mathcal {H))(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _ {N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$
	$+kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

donde es la probabilidad de encontrar el sistema principal en un estado con variables . Esta probabilidad viene dada por el factor de Boltzmann normalizado $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$ ${\ estilo de visualización (\ xi _ {1}, \ xi _ {2},..., \ xi _ {N})}$

{\begin{alineado}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})&{}={ \frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})}\\&{}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_ {i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod_{i=1}^{N}P_{0}^{ (i)}(\xi _{i})\end{alineado}}

donde es la suma estadística. después ${\ estilo de visualización Z_ {0}}$

{\begin{alineado}F_{0}=&{}\sum_{(i,j)\in {\mathcal {P))}{\rm {Tr))_{i,j}V_ {i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j )}(\xi _{j})\\&{}+kT\sum _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)} (\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{alineado}}

Para la minimización se toma la derivada con respecto a la probabilidad de un grado de libertad , utilizando multiplicadores de Lagrange indeterminados para la normalización. El resultado final es un sistema de ecuaciones autoconsistentes. ${\displaystyle P_{0}^{(i)))$

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N

donde el campo medio se da como

h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j|(i,j)\in {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr }}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

Aplicación

La teoría del campo medio se puede aplicar a una serie de sistemas físicos, estudiando, por ejemplo, las transiciones de fase [7] .

modelo Ising

Deje que el modelo de Ising se defina en un retículo d - dimensional. El hamiltoniano se da como

{\displaystyle H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i))

donde denota la suma de los pares de vecinos más cercanos y son los giros de los vecinos más cercanos. ${\ estilo de visualización \ suma _ {\ langle i, j \ rangle}}$ ${\ estilo de visualización \ langle yo, j \ rangle}$ $s_{i}=\pm 1$ $s_{j}$

Al introducir desviaciones de fluctuación del valor medio , el hamiltoniano se puede reescribir $m_{i}\equiv\langle s_{i}\rangle$

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _ {i}s_{i}

donde las fluctuaciones de espín se denotan por . ${\displaystyle \delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i))$

Expandiendo el lado derecho, se puede obtener un término que depende solo del valor medio del espín y no depende de la configuración del espín. Este término es trivial, no afecta las propiedades estadísticas del sistema. El siguiente término contiene el producto del valor promedio del giro y las fluctuaciones. Finalmente, el último término contiene los productos de las fluctuaciones.

La aproximación del campo medio consiste en despreciar este término de segundo orden en las fluctuaciones. Estas fluctuaciones crecen en sistemas de baja dimensión, por lo que la teoría del campo medio funciona mejor para sistemas de alta dimensión.

H\approx H^{MF}\equiv -J\sum_{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{ j}\delta s_{i})-h\sum_{i}s_{i}

Los términos se pueden reorganizar de nuevo. Además, el valor promedio de cada uno de los giros no debe depender del sitio, ya que el sistema Ising es invariante traslacionalmente. Es por eso

H^{MF}=-J\sum_{\langle i,j\rangle }\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\sum_{ i}s_{i}.

La suma de vecinos se puede reescribir como , donde están los vecinos más cercanos , y el factor 1/2 evita que el mismo término se tenga en cuenta dos veces, ya que hay dos espines involucrados en la formación de cada enlace. La simplificación da el resultado final. ${\displaystyle \sum_{\langle i,j\rangle}={\frac {1}{2}}\sum_{i}\sum_{j\in nn(i)))$ ${\ estilo de visualización nn (i)}$ $i$

H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\sum_ i}s_{i}

donde esta el numero de coordinacion En este momento, el hamiltoniano de Ising se descompone en la suma del hamiltoniano de una partícula con campo medio efectivo y el campo medio debido a espines adyacentes. Vale la pena señalar que este campo promedio depende directamente del número de vecinos más cercanos y, por lo tanto, de la dimensión del sistema (por ejemplo, para una red hipercúbica de dimensión , ). $z$ $h^{\mathrm {ef} }=h+Jzm$ ${\ estilo de visualización d}$ ${\ estilo de visualización z = 2d}$

Este hamiltoniano se sustituye en la función de distribución y se resuelve el problema unidimensional efectivo, obteniendo

Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right ]^{N}

donde es el número de nodos de red. Esta es una expresión cerrada y exacta para la función de distribución del sistema. De él puedes obtener energía gratis y conocer los índices críticos. En particular, se puede obtener la magnetización m en función de . $norte$ ${\displaystyle h^{\mathrm {ef} ))$

Así, se obtienen dos ecuaciones que especifican la relación entre m , lo que nos permite determinar m en función de la temperatura. La consecuencia de esto es la siguiente: $metro$ ${\displaystyle h^{\mathrm {ef} ))$

para temperaturas por encima de cierto valor , la única solución es . El sistema es paramagnético . $T_{c}$ $metro=0$
porque hay dos soluciones distintas de cero: . El sistema es un ferromagneto . ${\ Displaystyle T<T_{c))$ ${\displaystyle m=\pm m_{0))$

$T_{c}$ se encuentra a partir de la relación: . Esto muestra que la teoría del campo medio puede describir la transición de fase al estado ferromagnético. ${\displaystyle T_{c}={\frac{Jz}{k_{B))))$

Aplicación a otros sistemas

De manera similar, la teoría del campo medio se puede aplicar a otros hamiltonianos:

Al estudiar la transición de fase metal-superconductor. En este caso, el análogo de la magnetización es la brecha superconductora . $\Delta$
Para el campo molecular del cristal líquido , que se produce cuando el laplaciano del campo director es distinto de cero.
Determinar el empaquetamiento óptimo de las cadenas laterales de aminoácidos para una estructura terciaria determinada al predecir la estructura de las proteínas.

Generalización para campos medios dependientes del tiempo

En la teoría del campo medio, aparece para un solo nodo como un escalar o un vector, pero no depende del tiempo. Sin embargo, esto no es necesario: en la variante de la teoría, que se llama teoría dinámica del campo medio, el campo medio depende del tiempo. Por ejemplo, la teoría dinámica se puede aplicar al modelo de Hubbard mediante el estudio de la transición de Mott metal-aislante .

Notas

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↑ Weiss, Pierre . L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique (francés) // J. Phys. teor. aplicación :revista. - 1907. - Vol. 6 , nº 1 . _ - Pág. 661-690 .
↑ Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. Un resultado de convergencia de campo medio genérico para sistemas de objetos que interactúan // Cuarta Conferencia Internacional sobre Evaluación Cuantitativa de Sistemas (QEST 2007 ) . - 2007. - Pág. 3. - ISBN 0-7695-2883-X . -doi : 10.1109/ QEST.2007.8 .
↑ Baccelli, F.; Karpelevich, FI; Kelbert, MY; Puhalskii, A.A.; Rybko, AN; Suhov, YM Un límite de campo medio para una clase de redes en cola // Journal of Statistical Physics : diario. - 1992. - vol. 66 , núm. 3-4 . — Pág. 803 . -doi : 10.1007/ BF01055703 . - .
↑ Lasry, JM; Leones, PLJuegos de campo medio (neopr.) // Revista japonesa de matemáticas. - 2007. - T. 2 . - art. 229 . -doi : 10.1007/ s11537-007-0657-8.
↑ Chaikin, PM; Lubensky, TC Principios de física de la materia condensada (neopr.) . - 4ta impresión. -Cambridge: Cambridge University Press , 2007. -ISBN 978-0-521-79450-3 .
↑ HE Stanley. Teoría del campo medio de las transiciones de fase magnéticas // Introducción a las transiciones de fase y los fenómenos críticos (inglés) . - Oxford University Press , 1971. - ISBN 0-19-505316-8 .