| poliedro de Schönhardt | ||
|---|---|---|
| poliedro de Schoenhardt | ||
| Tipo de | poliedro no convexo | |
| Propiedades |
No convexo Sin diagonales interiores No triangularizable |
|
| combinatoria | ||
| Elementos |
|
|
| facetas | 8 triángulos | |
El poliedro de Schoenhardt es el poliedro no convexo más simple que no puede ser triangulado por tetraedros sin agregar nuevos vértices. El poliedro lleva el nombre del matemático alemán Erich Schönhardt , quien lo construyó en 1928 .
El poliedro de Schoenhardt se puede construir usando dos triángulos regulares congruentes en dos planos paralelos, de modo que la línea trazada a través de los puntos medios de los triángulos sea perpendicular a los planos. Los dos triángulos deben rotarse uno respecto al otro para que no sean ni una traslación paralela entre sí ni una rotación de 180º.
El casco convexo de estos dos triángulos forma un poliedro convexo , que es combinatoriamente equivalente a un octaedro regular . Junto con las aristas de los triángulos originales, el poliedro tiene seis aristas que conectan estos dos triángulos, de dos longitudes diferentes y tres diagonales internas . El poliedro de Schoenhardt se obtiene eliminando los bordes de conexión más largos y reemplazándolos con tres diagonales de casco convexas.
El poliedro de Schoenhardt también se puede formar quitando tres tetraedros del casco convexo. Cada tetraedro a ser removido es el casco convexo de cuatro vértices de dos triángulos, dos de cada uno. Esta eliminación da como resultado el reemplazo de los bordes de conexión largos por tres nuevos bordes con ángulos diédricos cóncavos , lo que da como resultado un poliedro no convexo.
El poliedro de Schoenhardt es combinatoriamente equivalente a un octaedro regular . Es decir, sus vértices, aristas y caras pueden asociarse uno a uno con los vértices, aristas y caras de un octaedro regular. Pero, a diferencia de un octaedro regular, tres aristas tienen ángulos diédricos cóncavos, y estas tres aristas forman una combinación perfecta del gráfico del octaedro. Este hecho es esencial para probar la ausencia de triangularización.
Los seis vértices del poliedro de Schoenhardt se pueden utilizar para obtener quince pares de vértices no ordenados. Doce de estos quince pares forman las aristas del poliedro: seis son las aristas de dos caras triangulares regulares y seis aristas conectan los dos triángulos. Los tres bordes restantes forman las diagonales del poliedro, pero se encuentran completamente fuera del poliedro.
No es posible dividir el politopo de Schönhardt en tetraedros cuyos vértices son los vértices del politopo. Además, no hay ningún tetraedro que se encuentre completamente dentro del poliedro de Schoenhardt y tenga los vértices del poliedro como vértices. De hecho, entre los cuatro vértices de un politopo de Schoenhardt, al menos un par debe ser una diagonal del politopo, y las diagonales se encuentran completamente fuera del politopo.
Ruppert y Seidel [1] utilizaron el politopo de Schoenhardt como base para probar la completitud de NP al verificar que un politopo no convexo se puede triangular.