Una variedad de Haken es una variedad compacta P 2 -irreducible 3- que es lo suficientemente grande , lo que significa que contiene una superficie incompresible de dos lados anidada correctamente . A veces, solo se consideran variedades de Haken orientables, en cuyo caso las variedades de Haken son variedades tridimensionales irreducibles, orientables y compactas que contienen superficies incompresibles orientables.
Una variedad de 3 cubierta por un número finito de variedades de Haken se llama variedad virtual de Haken . La conjetura de virtualidad de Haken establece que cualquier 3-variedad compacta irreducible con un grupo fundamental finito es una variedad virtual de Haken. Esta hipótesis fue probada por Ian Agol.
Las variedades de Haken fueron propuestas por Wolfgang Haken [1] . Haken [2] demostró que las variedades de Haken tienen una jerarquía en la que se pueden dividir en 3 bolas a lo largo de superficies incompresibles. Haken también demostró que existe un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si la variedad 3 tiene uno. Jaco y Ortel [3] presentaron un algoritmo para determinar si una variedad de 3 es una variedad de Haken.
Las superficies normales son ubicuas en la teoría de las variedades de Haken, y su estructura simple y rígida conduce naturalmente a los algoritmos.
Solo consideraremos el caso de las variedades orientables de Haken para simplificar la discusión. Una vecindad regular de una superficie orientable en un 3-variedad orientable es solo una versión "engrosada" de la superficie, es decir, un I -sheaf trivial . Por lo tanto, una vecindad regular es una subvariedad tridimensional con un límite que contiene dos copias de la superficie.
Dada una variedad de Haken orientable M , por definición contiene una superficie incompresible orientable S. Tome una vecindad regular de la superficie S y quite su interior de M , obtenemos la variedad M' . Esencialmente, cortamos M a lo largo de la superficie S. (Esto es análogo, en dimensión uno menos, a cortar una superficie a lo largo de un círculo o un arco). Existe el teorema de que cualquier variedad compacta orientable que tiene un componente con límite que no es una esfera tiene un primer grupo de homología infinito, que implica que tiene una superficie incompresible inseparable de 2 lados correctamente anidada y, por lo tanto, también es una variedad de Haken. Así, podemos elegir otra superficie incompresible en M' y cortar a lo largo de ella. Si, eventualmente, esta secuencia de cortes da como resultado una variedad cuyas partes (componentes) son simplemente 3 bolas, llamamos a esta secuencia una jerarquía.
La jerarquía hace posible probar algunos tipos de teoremas múltiples de Haken por inducción. Primero, se prueba un teorema para 3 bolas. Luego se prueba que si el teorema es verdadero para las partes obtenidas cortando la variedad de Haken, entonces también lo es para la variedad de Haken misma. La clave aquí es que el corte sea a lo largo de una superficie muy "buena", es decir, incompresible. Esto hace que la prueba por inducción suene en muchos casos.
Haken esbozó una prueba de un algoritmo para verificar si dos variedades de Haken son homeomorfas. Su bosquejo de la prueba se llenó con los esfuerzos independientes de Waldhausen, Johanson, Hemion, Matveev y otros. Desde entonces, existe un algoritmo para verificar si una variedad de 3 es una variedad de Haken, y el problema principal de reconocer las variedades de 3 puede considerarse resuelto para las variedades de Haken.
Waldhausen [4] demostró que las variedades cerradas de Haken son topológicamente rígidas ; en términos generales, cualquier equivalencia de homotopía de las variedades de Haken es homotopía para un homeomorfismo (en el caso de un límite, se requiere una condición en una estructura periférica). Así, las 3-variedades están completamente determinadas por su grupo fundamental. Además, Waldhausen demostró que los grupos fundamentales de las variedades Haken tienen un problema verbal que se puede resolver. Lo mismo es cierto para las variedades hakenianas virtuales.
La jerarquía juega un papel crucial en el teorema de hiperbolización de William Thurston para las variedades de Haken, que es parte de su programa revolucionario para la geometrización de las 3-variedades.
Johanson [5] demostró que las 3 variedades de Haken atoroidales no anulares irreducibles en el límite tienen grupos de clase de mapeo finitos . Este resultado se puede obtener combinando la rigidez de Mostov con el teorema de geometrización de Thurston.
Tenga en cuenta que algunas familias de ejemplo están contenidas en otras.