Puente de rigidez

La rigidez de Mostov establece que la geometría de una variedad hiperbólica de volumen finito en dimensiones a partir de tres está completamente determinada por su grupo fundamental .

Historia

Para variedades cerradas, el teorema fue demostrado por George Mostov en 1968. Generalizado a variedades de dimensión finita por Marden y Prasad .  Gromov dio otra prueba basada en el volumen simplicial .

Antes de esto, Weyl había probado afirmaciones estrechamente relacionadas. En particular, el hecho de que acciones cocompactas de grupos de isometría discretos de un espacio hiperbólico de dimensión al menos 3 no admitan deformaciones no triviales.

Formulaciones

Redacción geométrica

Sean M y N variedades n -dimensionales hiperbólicas completas de volumen finito con n ≥3. Entonces cualquier isomorfismo f :  π 1 ( M ) → π 1 ( N ) es inducido por la isometría M → N .

Aquí π 1 ( M ) denota el grupo fundamental de la variedad M .

Formulación algebraica

Sean Γ y Δ subgrupos discretos del grupo de isometría G de un espacio hiperbólico H de n dimensiones con n ≥ 3 cuyos espacios factoriales H /Γ y H /Δ tienen volúmenes finitos. Entonces el isomorfismo de Γ y Δ como grupos discretos implica su conjugación en G .

Aplicaciones

• El grupo de isometría de volúmenes finitos de una n - variedad hiperbólica M (para n ≥3) es finito e isomorfo al grupo de automorfismos exteriores π 1 ( M ).
• teorema de empaque circular

Enlaces

• Gromov, Michael (1981), Variedades hiperbólicas (según Thurston y Jørgensen) , Seminario de Bourbaki, vol. 1979/80 , vol. 842, Lecture Notes in Math., Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2 , doi : 10.1007/BFb0089927 
• Marden, Albert (1974), La geometría de grupos kleinianos finitamente generados, Annals of Mathematics. Segunda serie Vol. 99: 383–462, ISSN 0003-486X 
• Mostow, GD (1968), Asignaciones cuasi-conformes en el espacio n y la rigidez de las formas del espacio hiperbólico , Publ. Matemáticas. IHES volumen 34: 53–104 , < http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0 > 
• Mostow, GD (1973), Rigidez fuerte de espacios localmente simétricos , vol. 78, Anales de estudios matemáticos, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08136-6 , < https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC > 
• Prasad, Gopal (1973), Rigidez fuerte de celosías de rango Q 1 , Inventiones Mathematicae T. 21: 255–286, ISSN 0020-9910 , DOI 10.1007/BF01418789 
• Spatzier, RJ (1995), Análisis armónico en la teoría de la rigidez, en Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference , Cambridge University Press, p. 153–205, ISBN 0-521-45999-0  . (Proporciona un estudio de una gran variedad de teoremas de rigidez, incluidos los relacionados con los grupos de Lie, los grupos algebraicos y la dinámica de flujos. Incluye 230 referencias).
• Thurston, William (1978–1981), La geometría y la topología de las 3 variedades , Notas de conferencias de Princeton , < http://www.msri.org/publications/books/gt3m/ >  . (Da dos pruebas: una similar a la prueba original de Mostow y otra basada en la norma de Gromov )
• Weil, André (1960), Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie, Annals of Mathematics. Segunda serie volumen 72: 369–384, ISSN 0003-486X 
• Weil, André (1962), Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie. II, Anales de Matemáticas. Segunda serie volumen 75: 578–602, ISSN 0003-486X