Modelo Vasicek

El modelo de Vasicek es un modelo matemático de equilibrio de un factor que describe la evolución de la llamada tasa de interés instantánea .

Descripción

El modelo fue propuesto por Oldrich Vasichek en 1977. La factorialidad única se debe al hecho de que solo una fuente de incertidumbre en la dinámica de la tasa está involucrada en el modelo. Este modelo asume que la tasa de interés fluctúa alrededor de un cierto nivel promedio.

Este modelo fue el primero en tener en cuenta la tendencia de los tipos de interés a volver a la media (en inglés mean reversion ): los tipos de interés no pueden subir indefinidamente, ya que su alto nivel limitará la actividad económica y, pasado cierto límite, la llevará a nada; por otro lado, las tarifas están naturalmente limitadas desde abajo. Por lo tanto, las tasas deberían moverse dentro de un rango limitado.

La desventaja del modelo de Vasicek es que utiliza una distribución normal para el coeficiente de deriva de volatilidad, que teóricamente permite tasas negativas.

Modelo matemático

Matemáticamente, el modelo se escribe como la siguiente ecuación diferencial estocástica de tipo difusión ( ecuación de Ornstein-Uhlenbeck ) [1] :

$dr_{t}=\alpha (\beta -r_{t})\Delta t+\sigma \epsilon {\sqrt {\Delta t))$ ,

dónde:

${\ estilo de visualización \ epsilon {\ sqrt {\ Delta t))}$ — proceso de Wiener ( — selección aleatoria de la distribución normal estándar en el tiempo t : ), $\epsilon$ $\epsilon \left(t\right)\sim \mathrm {N} \left(0,1\right)$
$\beta$ - el nivel medio (a largo plazo) del tipo de interés,
$\alfa$ es un parámetro que caracteriza la tasa de retorno al valor medio ( ), ${\ estilo de visualización 0 \ leq \ alfa \ leq 1}$
$\sigma$ — parámetro de volatilidad. En el modelo de Vasicek, la volatilidad de la tasa no depende del valor de la tasa actual.

En 1990 y 1991, se introdujeron los modelos Black-Derman-Toy y Black-Karasinsky, respectivamente, introduciendo volatilidad no estacionaria.

Solución de la ecuación

La solución de la ecuación de Vasicek tiene la forma:

$r_{t}=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})+\sigma e^{{-\alpha t}}\ int _{0}^{t}e^{{\alpha s}}dW_{s}$

La expectativa matemática y la volatilidad de la tasa son iguales a:

$E(r_{t})=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})=\beta +(r_{0}-\ beta )e^{{-\alpha t}}~,~~V(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}(1-e^{{-2 \alfa t}})$

Por lo tanto, cuando tenemos una tasa promedio de largo plazo y volatilidad $t\rightarrow\infty$ $E(r)=\beta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}$

Curva de rendimiento

La ecuación de la curva de rendimiento (estructura temporal de las tasas de interés) correspondiente al modelo de Vasicek tiene la forma:

$R(t)=R_{{\infty }}+(r_{0}-R_({\infty }}){\frac {1-e^{{-\alpha t}}}{\alpha t}} +{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{{-\alpha t)))^{2}}{4\alpha ^{3}t}}~,~~R_{{\infty }}=\lim_{{t\rightarrow \infty }}R(t)=\beta +\lambda \sigma /a-0.5\sigma ^{2}/\alpha ^{2}$

$\lambda$ - el precio de riesgo de mercado, determinado a partir de la condición de ausencia de arbitraje en la formación de bonos con diferentes vencimientos.

Véase también

Modelo de difusión de la evolución de los tipos de interés

Notas

↑ Meissner, Günter. Modelado y gestión del riesgo de correlación : una guía aplicada que incluye el marco de correlación de Basilea III, con modelos interactivos en Excel/VBA . - Wiley, 2014. - Pág. 47. - ISBN 111879690X .