Modelo ising

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El modelo de Ising  es un modelo matemático de física estadística diseñado para describir la magnetización de un material.

Descripción

A cada vértice de la red cristalina (no solo se consideran casos tridimensionales, sino también unidimensionales y bidimensionales) se le asigna un número llamado espín e igual a +1 o −1 ("campo arriba" / "campo abajo") . A cada una de las opciones posibles para la disposición de los espines (donde  es el número de átomos de la red) se le asigna la energía resultante de la interacción por pares de los espines de los átomos vecinos:

donde  es la energía de interacción (en el caso más simple, la misma para todos los pares de átomos vecinos). A veces también se considera un campo externo (a menudo se supone que es pequeño):

Luego, para una temperatura recíproca dada, se considera la distribución de Gibbs sobre las configuraciones resultantes : se supone que la probabilidad de una configuración es proporcional a , y se estudia el comportamiento de tal distribución para un número muy grande de átomos .

Por ejemplo, en modelos con dimensiones mayores que 1, se produce una transición de fase de segundo orden : a temperaturas suficientemente bajas, la mayoría de los espines de un ferromagnético (en ) estarán orientados (con una probabilidad cercana a 1) de la misma manera , y a altas temperaturas, es casi seguro que los giros "hacia arriba" y "hacia abajo" serán casi iguales. La temperatura a la que se produce esta transición (es decir, a la que desaparecen las propiedades magnéticas del material) se denomina punto crítico o punto de Curie . En las proximidades del punto de transición de fase divergen una serie de características termodinámicas. La experiencia demuestra que la divergencia tiene carácter universal y está determinada únicamente por la simetría del sistema. Por primera vez se obtuvieron exponentes críticos de divergencias para el modelo bidimensional de Ising en los años 40 por L. Onsager . Para otras dimensiones, los estudios se llevan a cabo mediante simulación por computadora y métodos de grupo de renormalización . La justificación para el uso del grupo de renormalización en este caso es la construcción de bloques de Kadanoff y la hipótesis de similitud termodinámica .

Introducido inicialmente para comprender la naturaleza del ferromagnetismo, el modelo de Ising se ha encontrado en el centro de varias teorías físicas relacionadas con fenómenos críticos, líquidos y soluciones, vidrios giratorios, membranas celulares, modelado del sistema inmunológico , varios fenómenos sociales, etc. Además, este modelo sirve como campo de pruebas para probar métodos de simulación numérica de varios fenómenos físicos.

Se obtuvieron soluciones exactas para los modelos de Ising unidimensionales y bidimensionales: para el modelo unidimensional del propio Ising, para el modelo bidimensional de Onsager en 1944 [1] .

Modelo de Ising unidimensional

En el caso de una dimensión, el modelo de Ising se puede representar como una cadena de espines que interactúan. Se encontró una solución exacta para tal modelo, pero en el caso general el problema no tiene una solución analítica.

Algoritmo para la implementación del modelo de Ising por el método Monte Carlo en una computadora

  1. Cree una red de giros (matriz bidimensional), los giros están orientados arbitrariamente.
  2. Elija aleatoriamente una de las celdas de la cuadrícula, borre el valor que contiene.
  3. Calcula las energías de las configuraciones cuando esta celda se llena de espines hacia arriba y hacia abajo (o para todos los estados posibles, si hay más de dos).
  4. Elija una de las opciones para el espín "borrado" al azar, con una probabilidad proporcional a , donde  está la energía en el estado correspondiente (ya que todos los términos que no afectan el espín dado son iguales, de hecho, solo sumas sobre vecinos hay que calcularlo).
  5. Volvemos al punto 2; después de que se haya realizado una cantidad suficiente de iteraciones (determinar que esta es una tarea separada y difícil), el bucle se detiene.

Aplicaciones

En 1982, Hopfield demostró el isomorfismo del modelo de Ising y los modelos recurrentes de redes neuronales [2] .

La computadora cuántica de D-Wave Systems se basa en el modelo Ising. Sin embargo, la eficiencia de la computadora plantea preguntas, que fue el motivo de una nueva investigación, cuyo propósito es comparar correctamente los algoritmos clásicos y los algoritmos para las computadoras DWave. Resultó que hay problemas en los que una computadora cuántica adiabática ciertamente no es más eficiente que una clásica [3] .

Véase también

Notas

Comentarios

Fuentes

  1. ↑ Gelfer Ya. M. , Historia y metodología de la termodinámica y la física estadística, 1981 , p. 426.
  2. ↑ Khaykin S., 2006 , pág. 79.
  3. ↑ Katzgraber, Hamze, Andrist, 2014 , pág. 6.

Literatura

Libros

Artículos científicos


 Secciones de física estadística
Física de la Materia Condensada