Modelo de sistema axioma
Un modelo de sistema de axiomas es cualquier objeto matemático que corresponde a un sistema de axiomas dado . La verdad de un sistema de axiomas solo puede probarse construyendo un modelo en el marco de otro sistema de axiomas, que se considera "verdadero". Además, el modelo le permite demostrar visualmente algunas de las características de esta teoría axiomática .
Sobre teorías axiomáticas
Una teoría axiomática se construye de la siguiente manera: se introducen varios objetos básicos (en planimetría , estos son un punto , una línea , un plano , "pertenece", "está entre" y movimiento ). Estos objetos no reciben definiciones , pero se postulan una serie de axiomas , que explican las propiedades de estos objetos.
La teoría axiomática no dice explícitamente si existen puntos, líneas y planos. Por lo tanto, dos opciones son posibles:
- Del sistema de axiomas se deducirán dos enunciados opuestos. Tal sistema se llama inconsistente: esto significa que los puntos, las líneas y los planos no existen, lo que significa que la planimetría tampoco existe.
- Se construirá alguna construcción matemática (por ejemplo, basada en la aritmética ), dentro de la cual se definirán "puntos", "líneas" y "plano". Este será el modelo de planimetría. La construcción del modelo confirma que el sistema de axiomas es consistente.
(en realidad, el segundo es cierto para la planimetría, ver más abajo).
Ejemplos
Un modelo de lógica formal en el marco del álgebra booleana
- Las "variables" son variables booleanas del conjunto {0,1}.
- Los signos y son las correspondientes operaciones del álgebra booleana.
Al sustituir todos los posibles A, B, C en los axiomas, nos aseguramos de que todos los axiomas se cumplan en este modelo. La verdad del modus ponens se prueba de la misma manera .
Modelo de planimetría en el marco de la aritmética
"Punto" es un par de números reales .
"Línea": todos los puntos para los cuales , donde y no son iguales a 0 al mismo tiempo.
"Plano" - todos los posibles pares de números reales .
Modelo geométrico de Lobachevsky en términos de planimetría
El modelo más interesante de la geometría de Lobachevsky es el modelo de Poincaré. "Plano" es el interior de un círculo , un "punto" es un punto y una "recta" es una línea recta o un arco perpendicular al círculo. Los ángulos se consideran como en la geometría de Euclides.
El significado físico del modelo es el siguiente. Deje que la velocidad de la luz en un "mundo" redondo cambie de c en el centro a cero en los bordes según la ley (lo que significa que el índice de refracción será 1 en el centro y en los bordes). Entonces la luz se moverá a lo largo de arcos perpendiculares al límite, pero no alcanzará el límite en un tiempo finito. Para los habitantes, este "mundo" parecerá interminable, y tomarán la geometría de Lobachevsky con fe.
