Punto (geometría)

Un punto es uno de los objetos matemáticos fundamentales ( indefinidos ) cuyas propiedades vienen dadas por un sistema de axiomas . No es estrictamente posible representar un punto como un elemento indivisible del espacio matemático correspondiente , definido en geometría , análisis matemático y otras ramas de las matemáticas [1] .

Al mismo tiempo, en diferentes secciones de las matemáticas, el concepto de punto puede diferir. En los espacios con sistema de coordenadas, un punto viene dado por un conjunto de sus coordenadas y suele identificarse con él. Sin embargo, el concepto de punto también se utiliza en espacios sin sistema de coordenadas (por ejemplo, en topología o en teoría de grafos ) [1] .

Los puntos geométricos, en general, no tienen ninguna característica medible ( longitud , área , volumen , etc.), excepto las coordenadas. En áreas específicas de las matemáticas, ciertos tipos pueden tener propiedades y nombres especiales, por ejemplo, puntos singulares , puntos límite , puntos críticos , etc. [1] En física, se introduce el concepto de punto material , al que se le asigna un cierto valor de masa y características dinámicas (velocidad, aceleración, etc.).

Punto en geometría euclidiana

El primer axioma de Euclides , en sus Principia , define un punto como "un objeto sin partes". En la axiomática moderna de la geometría euclidiana , un punto es un concepto primario , definido únicamente por una lista de sus propiedades: axiomas .

En el sistema de coordenadas elegido , cualquier punto del espacio euclidiano bidimensional se puede representar como un par ordenado ( x ; y ) de números reales . De manera similar, un punto en un espacio euclidiano n - dimensional (o un vector o espacio afín ) se puede representar como una tupla ( a 1 , a 2 , … , a n ) de n números.

Muchos objetos en la geometría euclidiana consisten en un conjunto infinito de puntos que corresponden a ciertos axiomas. Por ejemplo, una línea recta es un conjunto infinito de puntos de la forma , donde c 1 ... c n y d son constantes, y n es la dimensión del espacio. Hay construcciones similares que definen un plano , un segmento de línea y otros conceptos relacionados. Un segmento de línea que consta de un solo punto se llama segmento degenerado . $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+.. .a_{n}c_{n}=d\rcorchete}$

Además de definir puntos y objetos asociados con puntos, Euclides también postuló la idea clave de que dos puntos cualesquiera podrían estar conectados por una línea recta. Esto hizo posible construir casi todos los conceptos geométricos conocidos en ese momento. Sin embargo, el postulado de los puntos de Euclides no era ni completo ni definitivo, y también contenía disposiciones que no se derivaban directamente de sus axiomas, como la ordenación de los puntos en una línea o la existencia de ciertos puntos. Las extensiones modernas del sistema de Euclides eliminan estas deficiencias.

Dimensión del punto

En todas las definiciones generales de dimensión , un punto es un objeto de dimensión cero, pero se describe de manera diferente en diferentes concepciones de dimensión.

Espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial es el tamaño máximo de un subconjunto linealmente independiente . En un espacio vectorial que consta de un solo punto (que debe ser el vector nulo 0), no existe un subconjunto linealmente independiente. El vector cero en sí mismo no es linealmente independiente, ya que existe una combinación lineal no trivial que lo hace cero: . $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$

Dimensión topológica

La dimensión topológica de un espacio topológico X se define como el valor mínimo de n tal que toda cubierta abierta finita de X admite una cubierta abierta finita de X que refina , en el que ningún punto está incluido en más de n + 1 elementos. Si tal mínimo n no existe, se dice que el espacio tiene una dimensión de cobertura infinita. $\mathcal{A}$ ${\ matemáticas {B}}$ $\mathcal{A}$

El punto es de dimensión cero con respecto a la dimensión de la cubierta, porque cada cubierta abierta del espacio tiene un refinamiento que consiste en un conjunto abierto.

Dimensión de Hausdorff

Sea X un espacio métrico . Si S ⊂ X y d ∈ [0, ∞), entonces el conjunto de Hausdorff en el espacio d-dimensional S es el mínimo del conjunto de números δ ≥ 0 para el cual existe algún conjunto (indexado) de métricas que cubren S con r i > 0 para todo i ∈ I que satisfaga . ${\ estilo de visualización \ {B (x_ {i}, r_ {i}): i \ en I \}}$ $\sum_{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$

La dimensión de Hausdorff de un espacio métrico X se define como

\operatorname {dim}_{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

Un punto tiene dimensión de Hausdorff 0 porque puede estar cubierto por una sola esfera de radio arbitrariamente pequeño.

Geometría sin puntos

El concepto de punto es fundamental en la mayoría de las áreas de la geometría y la topología, pero hay conceptos matemáticos que en principio rechazan el concepto de punto, por ejemplo, la geometría no conmutativa y la topología sin punto . En estos enfoques, el "espacio sin puntos" se define no como un conjunto , sino a través de alguna estructura (algebraica o lógica, respectivamente) que se parece a un conocido espacio funcional en un conjunto: el álgebra de aplicaciones continuas o el álgebra de conjuntos . , respectivamente. Más precisamente, tales estructuras generalizan espacios de funciones conocidas de tal manera que la operación "tomar valor en este punto" puede no estar definida. Los estudios de tales estructuras están contenidos en algunos de los escritos de Alfred Whitehead .

Masa puntual y función delta de Dirac

Para una serie de teorías de la física y las matemáticas, es útil utilizar un objeto tan abstracto como un punto, que tiene una masa o una carga distinta de cero (esto es especialmente común en la electrodinámica clásica , donde los electrones se representan como puntos con una masa distinta de cero). -cargo cero). La función delta de Dirac , o función δ, no es una función de una variable real, sino que se define como una función generalizada : un funcional lineal continuo en el espacio de funciones diferenciables. No es igual a cero solo en el punto donde se vuelve infinito de tal manera [2] que su integral sobre cualquier vecindad es igual a 1. La interpretación física de la función delta es una masa puntual idealizada o una carga puntual [3] . Esta función fue introducida por el físico teórico inglés Paul Dirac . En el procesamiento de señales, a menudo se lo denomina símbolo (o función) de pulso único [4] . El análogo discreto de la función δ de Dirac es el símbolo de Kronecker , que suele definirse en un dominio finito y toma los valores 0 y 1. $x=0$ $x=0$

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Point // Diccionario enciclopédico matemático . - M. : Enciclopedia soviética, 1988. - S. 585 . — 847 pág.
↑ Weisstein, Eric W. Delta Function en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Arfken y Weber, 2000 , pág. 84
↑ Bracewell, 1986 , Capítulo 5

Literatura

Arfken, G. B. & Weber, H. J. (2000), Métodos matemáticos para físicos (5.ª ed.), Boston, Massachusetts: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0 .
Bracewell, RN (1986), La transformada de Fourier y sus aplicaciones (2ª ed.), McGraw-Hill .
Clarke, Bowman , 1985, Individuos y puntos, Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
Gerla, G. , 1995, Geometrías sin sentido en Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Manual de geometría de incidencia: edificios y cimientos . Holanda Septentrional: 1015-31.
Whitehead, AN , 1920. El concepto de naturaleza . Universidad de Cambridge. Prensa. Libro de bolsillo de 2004, Prometheus Books. Siendo las Conferencias Tarner de 1919 dictadas en el Trinity College .

Enlaces

Point (inglés) en el sitio web de PlanetMath .
Weisstein, Eric W. Point (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
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