Multivector

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Un multivector es un elemento del álgebra externa , que es la suma de polivectores (vectores, bivectores, trivectores, etc.).

Cualquier polivector (k-vector) se puede representar como una suma de k-blades (k-vectores simples), donde cada k-blade, a su vez, se puede descomponer en un producto externo de k vectores.

Un 2 álabes se puede representar geométricamente como un plano orientado en el espacio de cualquier dimensión y se puede utilizar para representar la rotación en él.

Un n-vector en un espacio n-dimensional se denomina pseudoescalar , mientras que un (n-1)-vector se denomina pseudovector . Entonces, un pseudovector del espacio tridimensional es cualquier bivector.

La suma de un 1-vector y un escalar también se conoce como paravector .

k-vector es dual a k-form .

Propiedades:

Cualquier sistema de vectores linealmente independiente de define un k-vector distinto de cero; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\puntos,a_{k))$ $V$
Sistemas linealmente independientes y que generan el mismo subespacio en si y solo si ; ${\displaystyle a_{1},a_{2},\puntos,a_{k))$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},\puntos,b_{k))$ $V$
${\displaystyle a_{1}\cuña a_{2}\cuña \puntos \cuña a_{k}=\lambda b_{1}\cuña b_{2}\cuña \puntos \cuña b_{k))$
Para cualquier polivector distinto de cero , su aniquilador es un subespacio de dimensión , y el polivector es descomponible si y solo si ; $t\en \bigwedge \nolimits ^{k}V$ $\operatorname {Ann}t=\{v\in V|t\cuña v=0\}$ ${\ estilo de visualización \ leq k}$ $t$ $\dim \operatorname {Ana} t=k$
Los k-vectores descomponibles de un espacio n - dimensional V forman una variedad algebraica cónica en la variedad algebraica proyectiva correspondiente que es la variedad Grassmann ; ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {k} (V)}$
Cualquier n -vector distinto de cero o ( n − 1) -vector en un espacio n -dimensional es descomponible;
El bivector es descomponible si y solo si ; $t$ $t\cuña t=0$
Si fijamos un -vector distinto de cero , entonces surge un isomorfismo natural: $norte$ $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{n}(V)$ $\pi :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$ tal que para todos . $t\cuña u=\langle \pi (t),u\rangle \omega$ $u\en \bigwedge \nolimits ^{nk}(V)$

Notas

Literatura

Kostrikin AP, Manin Yu.I. Álgebra lineal y geometría (enlace inaccesible) , - Nauka, Moscú, 1980.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.