Álgebra multilineal

El álgebra multilineal es una rama del álgebra que generaliza los conceptos del álgebra lineal a funciones de varias variables que son lineales en cada uno de los argumentos.

Definiciones básicas

El objeto principal del álgebra multilineal es el mapeo multilineal ( -lineal) : $norte$

f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W

donde y son espacios vectoriales sobre un cierto campo . La condición de -linealidad significa, estrictamente hablando, que para cada familia de aplicaciones $V_1, \puntos, V_n$ $W$ $k$ $norte$ $i = 1, \puntos, n$

(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \dots, x_n)

dependiendo de variables como de parámetros , consiste en mapeos lineales . También se puede definir un mapeo lineal recursivo (por inducción) como un mapeo lineal de a un espacio vectorial de mapeos lineales. $n-1$ $\{x_k | k \ne yo\}$ $norte$ $V_{n}$ $(n-1)$

Un mapeo de 2 lineales se llama bilineal , un mapeo de 3 lineales se llama trilineal . Si coincide con el campo, la asignación se denomina forma multilineal . $W$ $k,$

Se dice que una forma polilineal es simétrica si su valor no cambia cuando se intercambian dos argumentos y, por lo tanto, cuando se intercambian todos los argumentos.
Se dice que una forma polilineal es sesgada simétrica (antisimétrica) si su valor se invierte cuando se intercambian dos argumentos. Por lo tanto, cuando se permutan todos los argumentos, su valor no cambiará si la permutación es par, y cambiará al contrario si la permutación es impar.
Teorema: [1] para cada uno hay una forma lineal sesgada-simétrica única (hasta la multiplicación por una constante, un elemento del campo) . Este es el determinante de una matriz compuesta de vectores . $n>1$ $k$ $norte$ $f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow K$ $V_1, \puntos, V_n$

Es posible generalizar asignaciones de espacios vectoriales (sobre campos) a módulos sobre anillos .

Formas cuadráticas y bilineales

Las formas algebraicas ( polinomios homogéneos en espacios vectoriales dados por polinomios homogéneos en coordenadas vectoriales) son importantes objetos de estudio en álgebra lineal. De estas, las formas cuadráticas y las formas bilineales son las de mayor interés , pero también se estudian formas de grados superiores, formas multilineales, formas policuadráticas y algunos tipos especiales de formas ( uno y medio lineales , hermitianas ). Las cuestiones principales en el estudio de las formas algebraicas son las leyes de cambio de coeficientes bajo transformaciones lineales (cambios de coordenadas), métodos de reducción a la forma canónica mediante transformaciones lineales y representación mutua de formas. [2]

Una forma cuadrática es un objeto de álgebra lineal que aparece en muchas ramas de las matemáticas, en particular, en teoría de números, teoría de grupos ( grupo ortogonal ), geometría diferencial, álgebras de Lie ( forma Killing ), definida como un polinomio homogéneo de el segundo grado en el campo de tierra de las variables ( es la dimensión del espacio en consideración). Una forma cuadrática se puede representar como una matriz , que (con el campo principal de característica diferente de 2) es simétrica , y cada matriz simétrica corresponde a una forma cuadrática, respectivamente, se introducen las mismas operaciones sobre formas cuadráticas que sobre matrices (multiplicación por un escalar, además), las formas cuadráticas se pueden reducir a una forma canónica, una forma diagonal: $norte$ $norte$ $n\veces n$

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2

(uno de los métodos prácticos de reducción es el método de Lagrange ) y se considera como una clase de equivalencia de todas las formas cuadráticas reducibles a una forma diagonal con coeficientes apropiados, el rango y la firma se conservan dentro de tales clases de equivalencia . [3] $[a_1, \puntos, a_n]$

Considerando un par de formas lineales (polinomios homogéneos de primer grado) como una sola función de dos sistemas de variables (en términos de espacios lineales, sobre el producto cartesiano de dos espacios vectoriales, en el caso más general, sobre el producto de izquierda y módulos unitarios rectos sobre un anillo con identidad) conduce al concepto de una forma bilineal (desde el punto de vista del álgebra tensorial, una forma bilineal se considera como un tensor de rango ). Al igual que la forma cuadrática, la forma bilineal se puede expresar mediante una matriz, además, cualquier forma bilineal se puede representar mediante una cuadrática: $(2.0)$ $B$

Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)

además, en el caso de que el espacio vectorial se defina sobre un campo de característica diferente de 2 de forma mutuamente única [4] .

En vista de su especial importancia (tanto para el álgebra lineal en sí como para sus aplicaciones), las propiedades de las formas bilineales simétricas y asimétricas se han estudiado con más detalle. $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Otros ejemplos

Formalismo

Objetos

Operaciones

Producto tensorial : crea un espacio lineal, pero las asignaciones que son lineales en el producto corresponden a asignaciones multilineales en los espacios originales

Notas

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. II, p.52 - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Maltsev, 1970 , pág. 254.
↑ Maltsev, 1970 , pág. 262-270.
↑ Forma cuadrática - Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . Malyshev A.V.

Literatura

Álgebra multilineal - Artículo de la Enciclopedia de las Matemáticas . A. L. Onishchik

Maltsev AI Fundamentos de álgebra lineal. - 3ro. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.