Grassmanniano

Una variedad de Grassmann o Grassmanniana de un espacio de dimensión lineal es una variedad que consiste en sus subespacios de dimensión. Denotado o o . En particular, es la variedad de líneas en el espacio , coincidiendo con el espacio proyectivo . Nombrado en honor a Hermann Grassmann . $V$ $norte$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} (p, n)}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} (p, V)}$ $\mathbf {Gr} _{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n-1}$

Hay una parametrización proyectiva natural en el Grassmannian (las coordenadas se definen hasta la multiplicación por una constante). Las coordenadas correspondientes se denominan coordenadas de Plücker . Definen una inversión . Las relaciones algebraicas sobre coordenadas de Plücker que definen la imagen de una incrustación en un espacio proyectivo se denominan relaciones de Plücker . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (p,n)\subconjunto \mathbf {P} ^{{n \elegir p}-1))$

Prueba

El Grassmannian puede estar dotado del siguiente atlas . ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$

Sea un subespacio -dimensional de . Introducimos el producto escalar en el espacio vectorial y lo denotamos por el complemento ortogonal . ${\ estilo de visualización \ Pi \ en \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$ $pags$ $V$ $V$ ${\ estilo de visualización \ Pi ^ {\ perp}}$ $\Pi$

Dado que , entonces cualquier subespacio dimensional lo suficientemente cercano como para poder identificarse con un mapeo lineal si cada vector se representa como una suma , donde y , y poner . $\Pi \oplus \Pi ^{\perp}=V$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ Pi '}$ $\Pi$ ${\displaystyle A:\Pi \to \Pi ^{\perp})$ ${\ estilo de visualización a \ en \ Pi '}$ ${\ estilo de visualización a = x + y}$ ${\ estilo de visualización x \ en \ Pi}$ ${\displaystyle y\in \Pi ^{\perp ))$ ${\ estilo de visualización A (x) = y}$

Luego, la vecindad del punto se mapea uno a uno en algún subconjunto abierto del espacio de mapeos lineales . El atlas construido lo convierte en una variedad analítica de dimensión , donde . ${\ estilo de visualización \ Pi \ en \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$ ${\mathcal {L}}(\Pi ,\Pi ^{\perp })$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$ ${\ estilo de visualización p (np)}$ ${\ estilo de visualización n = \ dim V}$

Para mostrar qué es una variedad algebraica proyectiva, se deben utilizar las relaciones de Plücker , que son ecuaciones algebraicas homogéneas de segundo grado. ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$

Propiedades

El Grassmannian es una variedad algebraica proyectiva de dimensión , donde . En consecuencia, si es un espacio complejo, entonces Grassmannian es una variedad algebraica compleja. ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$ ${\ estilo de visualización p (np)}$ ${\ estilo de visualización n = \ dim V}$ $V=\mathbb {C} ^{n}$
El cono de orden de Grassmann es el conjunto de elementos descomponibles de grado externo , es decir, -formas, representables como producto de 1-formas. La proyectivización del cono de orden de Grassmann coincide con . $pags$ $\cuña ^{p}V$ $pags$ $pags$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {Gr} _ {p} (V)}$

Debido al isomorfismo natural de -formas y -formas, las variedades Grassmannianas de orden y coincidencia. $pags$ ${\ estilo de visualización (np)}$ $pags$ $notario público$

El Grassmanniano real se puede representar como un espacio homogéneo de un grupo ortogonal .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(nk)\right)

Del mismo modo, el Grassmannian complejo corresponde al grupo unitario .

\mathbf {Gr} (k,\mathbb {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(nk)\right)

. Estas relaciones significan que se puede especificar un subespacio lineal del espacio euclidiano eligiendo una base ortonormal en el espacio ambiental , cuyos primeros vectores forman una base en . Tal parametrización no es única, son posibles diferentes elecciones de la base tanto en sí misma como en su complemento ortogonal. La eliminación de esta arbitrariedad corresponde a tomar el grupo factorial .

W

{\ estilo de visualización \ dim W}

W

W

División celular

El Grassmannian es un espacio celular . La división celular correspondiente se denomina célula de Schubert . Está construido de la siguiente manera. Elegimos una base en el espacio ambiental . A un subespacio k - dimensional dado , asociamos un conjunto de números ( el símbolo de Schubert ) según la regla ${\ estilo de visualización \ {e_ {1}, \ puntos, e_ {n} \}}$ $V$ ${\displaystyle s_{1,\dots,k))$

s_{i}=\min\{p\in \{1,\dots,n\}\vert \dim \left(V\cap \left\langle e_{1},\dots,e_{p }\right\rangle \right)=i\},\qquad i=1,\dots,k

Aquí , es el subespacio generado por los primeros vectores de la base. El conjunto de todos los subespacios con valores dados es homeomorfo a una celda cuya dimensión es . Para un Grassmanniano complejo, todas las celdas son espacios complejos, por lo que hay celdas no triviales solo en dimensiones pares. En consecuencia, la homología del complejo Grassmanniano tiene la forma $\left\langle e_{1},\dots,e_{p}\right\rangle$ $pags$ ${\displaystyle s_{1,\dots,k))$ $(s_{1}-1)+(s_{2}-2)+\puntos +(s_{n}-n)$

H_{m}(\mathbf {Gr} (k,n))={\begin{cases}0,\;m=2l+1\\\mathbb {Z} ^{d(k,l) },\;m=2l\end{casos}}

Aquí está el número de símbolos distintos de Schubert en la dimensión (compleja) . ${\ estilo de visualización d (k, n)}$ $yo$

Generalizaciones

La variedad de todos los k -marcos ortonormales en se denomina variedad de Stiefel . Tiene la estructura natural de un haz localmente trivial cuya fibra es el grupo ortogonal : $\mathbb{R} ^{n}$ $V_{k}(\mathbb{R} ^{n})$

O(k)\a V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\a \mathbf {Gr} _{k}(\mathbb {R} ^{n})

En particular, , .

V_{n-1}(\mathbb {R} ^{n})\simeq SO_{n},

V_{n}(\mathbb {R} ^{n})\simeq O_{n},

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - 3ª ed. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 . .

Zelikin M. I. Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones, - Factorial, Moscú, 1998.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.