Superestructura (sistemas dinámicos)

Un complemento en la teoría de sistemas dinámicos es un campo vectorial especialmente construido cuya dinámica modela la dinámica de las iteraciones de un difeomorfismo dado de una variedad . El procedimiento para construir la superestructura es en cierto sentido el inverso de tomar el mapa de Poincaré en una sección transversal al flujo, y en cierto sentido justifica la afirmación no estricta "se observan los efectos que se observan para mapeos en la dimensión para flujos en la dimensión " . Una generalización del concepto de un complemento es un hilo especial ; en este caso, el tiempo de retorno se considera no constante. ${\ estilo de visualización F: M \ a M}$ $METRO$ $k$ $k+1$

Definición

Una superestructura sobre un difeomorfismo de una variedad es un flujo dado por un campo vectorial en la variedad ${\ estilo de visualización F: M \ a M}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ parcial / \ t parcial}$

{\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,1]\}/((x,1)\sim (F(x),0 )).

En otras palabras, una variedad de flujo es un producto cuyos límites superior e inferior se identifican mediante el mapeo y cuyo campo vectorial es simplemente "vertical". Por lo tanto, el mapeo de la sucesión en el tiempo a lo largo de este campo corresponde a las iteraciones a lo largo de la coordenada. ${\ estilo de visualización M \ veces [0,1]}$ $F$ $norte$ $norte$ $F$ $X$

Este flujo y variedad también se pueden representar como un cociente de una variedad con un campo vectorial "vertical" por la acción (conmutando con este campo) del grupo generado por el mapeo . $M\veces \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización \ parcial / \ t parcial}$ $\matemáticas {Z}$ ${\ estilo de visualización (x, t) \ mapas a (F (x), t + 1)}$

Una generalización del concepto de superestructura es un flujo especial en el que el tiempo de retorno a la sección resulta ser una función. Es decir, un flujo especial correspondiente a un mapeo y una función es un flujo dado por un campo vectorial en la variedad $M\veces \{0\}$ $F$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ parcial / \ t parcial}$

{\tilde {M}}=\{(x,t)|x\in M,t\in [0,\varphi (x)]\}/((x,\varphi (x))\ sim(F(x),0)).