Mapeo de Poincaré

En la teoría de sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , el mapa de Poincaré (también mapa de sucesión , primer mapa de retorno ) es la proyección de un área en el espacio de fase sobre sí mismo (o sobre otra área) a lo largo de las trayectorias (curvas de fase) del sistema.

Considere alguna parte de la superficie en el espacio de fase (la sección de Poincaré ) transversal al campo vectorial del sistema (es decir, que no toca el campo; a menudo se dice simplemente transversal ). A partir de un punto de la transversal, liberamos la trayectoria del sistema. Supongamos que en algún punto la trayectoria cruzó nuevamente la transversal por primera vez; denote el punto de intersección por . El mapeo de Poincaré de un punto asocia el primer punto de retorno con . Si la trayectoria liberada nunca vuelve a la transversal, entonces el mapa de Poincaré en ese punto no está definido.

De manera similar, se puede definir un mapeo de Poincaré (mapeo de sucesión) no solo de una transversal a sí misma, sino también de una transversal a otra.

Las iteraciones del mapeo de Poincaré desde alguna transversal sobre sí mismo forman un sistema dinámico con tiempo discreto en un espacio de fase de menor dimensión. Las propiedades de este sistema están estrechamente relacionadas con las propiedades del sistema original con tiempo continuo (por ejemplo, los puntos fijos y periódicos del mapa de Poincaré corresponden a trayectorias cerradas del sistema). Así, se establece una conexión entre los campos vectoriales y sus flujos, por un lado, y las iteraciones de mapeo, por el otro. El mapa de Poincaré es una herramienta importante para estudiar sistemas dinámicos con tiempo continuo.

Véase también

función reflexiva

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