Negafibonacci
En matemáticas , los números que no son de Gafibonacci son los elementos indexados negativamente de la secuencia de Fibonacci .
Los números de negafibonacci se definen inductivamente por la siguiente relación recursiva:
- F - 1 = 1,
- F -2 = -1,
- F norte = F ( n +2) −F (n+1) .
También se pueden definir mediante la fórmula F −n = (−1) n+1 F n .
Los primeros 10 números de la sucesión nega-Fibonacci son:
| norte | F( n ) |
|---|---|
| −1 | una |
| −2 | −1 |
| −3 | 2 |
| −4 | −3 |
| −5 | 5 |
| −6 | −8 |
| −7 | 13 |
| −8 | −21 |
| −9 | 34 |
| −10 | −55 |
Representación entera
Cualquier número entero se puede representar de forma única, según el trabajo de Donald Knuth [1] , como la suma de números que no son de Fibonacci que no usan dos números consecutivos que no son de Fibonacci. Por ejemplo:
- −11 = F −4 + F −6 = (-3) + (-8)
- 12 = F - 2 + F- 7 = (-1) + 13
- 24 = F − 1 + F− 4 + F− 6 + F −9 = 1 + (-3) + (-8) + 34
- −43 = F −2 + F −7 + F −10 = (-1) + 13 + (-55)
- 0 está representado por una suma vacía.
Cabe señalar que 0 = F −1 + F −2 , por ejemplo, por lo que la unicidad de la representación realmente depende de la condición de no usar dos números consecutivos que no sean de Fibonacci.
Esto permite que el sistema de codificación nega-Fibonacci codifique números enteros de manera similar a la representación del teorema de Zeckendorf para transcodificar números usando representación binaria. En la secuencia que representa el entero x , n th , el dígito es 1 si F n aparece en la suma que representa x ; ese dígito no es 0. Por ejemplo, el número 24 se puede representar con la secuencia 100101001, que tiene el dígito 1 en los lugares 9, 6, 4 y 1 porque 24 = F −1 + F −4 + F − 6 + F - 9 . Un entero x está representado por una secuencia de longitud impar si y solo si .
Identidades
Relaciones con la secuencia positiva normal de los números de Fibonacci:
