Geometría no desarguesiana
Una geometría no desarguesiana es una geometría proyectiva del plano en el que el teorema de Desargues puede no cumplirse. En este caso, el plano proyectivo se denomina plano no desarguesiano (proyectivo).
Ejemplos
- el plano de Cayley es el plano proyectivo sobre el álgebra de Cayley .
Derivabilidad de los axiomas
El teorema de Desargues no se puede probar en el plano sobre la base de los axiomas proyectivos del plano solamente sin invocar los axiomas de congruencia o sin invocar los axiomas espaciales. Por ejemplo, en la geometría del plano, construida a partir de todos los sistemas planos de los axiomas de Hilbert , a excepción del axioma de congruencia de triángulos, no se puede obtener como consecuencia de ellos el teorema de Desargues. La geometría de este plano no es desarguesiana; no puede considerarse como parte de la geometría espacial en la que se satisfacen todos los axiomas del sistema de Hilbert, excepto el axioma de congruencia especificado. En otras palabras, un plano proyectivo no desarguesiano no se incrusta en espacios proyectivos de dimensiones superiores.
La posibilidad de construir una geometría no desarguesiana del plano permite aclarar la independencia de varios grupos de axiomas del sistema de Hilbert, así como aclarar el papel del teorema de Desargues como axioma adicional independiente de la geometría proyectiva plana.