Desigualdad de Bernoulli

La desigualdad de Bernoulli establece [1] : si , entonces ${\ estilo de visualización x> -1}$

{\ estilo de visualización (1 + x) ^ {n} \ geqslant 1 + nx}

para todo natural

{\ estilo de visualización n \ geqslant 1.}

Prueba

La demostración de la desigualdad se realiza por el método de inducción matemática sobre n . Para n = 1, la desigualdad es obviamente verdadera. Digamos que es cierto para n , demostremos que es cierto para n +1:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x =1+(n+1)x

h.t.d.

Desigualdad de Bernoulli generalizada

La desigualdad de Bernoulli generalizada establece [1] que para y : $x > -1 \!\$ $n\in\mathbb{R}$

si , entonces $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$ ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {n} \ geqslant 1 + nx}$
si , entonces $n\in(0;1) \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
mientras que la igualdad se logra en dos casos: $\left[\begin{matriz} \forall x\neq -1, n=0, n=1 \\ \forall n\neq 0, x=0 \end{matriz}\right.$

Prueba

Considere , y . Derivada en , porque . La función es dos veces diferenciable en una vecindad perforada del punto . Por lo tanto Obtenemos: $f(x)=(1+x)^n-nx\!\$ $x>-1,n \neq 0, n \neq 1 \!\$
$f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0 \!\$ $x=x_0=0 \!\$ $n \neq 0 \!\$
$F\!\$ $x_0 \!\$ $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2} \!\$

$f''(x)>0 \!\$ ⇒ en $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(-\infty ;0)\cup(1;+\infty )$
$f''(x)<0 \!\$ ⇒ en $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ $n\in(0;1) \!\$

El valor de la función , por lo tanto, las siguientes afirmaciones son verdaderas: $f(x_0)=1 \!\$

si , entonces $n\in(-\infty ;0)\cup[1;+\infty )$ ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {n} \ geqslant 1 + nx}$
si , entonces $n\in(0;1] \!\$ $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Es fácil ver que para los valores correspondientes de o , la función . En este caso, en la desigualdad final, las restricciones sobre , dadas al comienzo de la demostración, desaparecen, ya que para ellas se cumple la igualdad. ■ $x_0=0 \!\$ $n=0, n=1 \!\$ $f(x)=f(x_0) \!\$ $norte\!\$

Notas

La desigualdad también es válida para (en ), si excluimos el caso en que se obtiene cero elevado a cero . La demostración para el caso se puede realizar por el mismo método de inducción matemática: $x\geqslant-2$ $n\in\mathbb{N}_0$ $x\in\izquierda[-2,-1\derecha)$

(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1 +x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).

Desde cuando está satisfecho , entonces . $x\in\izquierda[-2,-1\derecha)$ $(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$ ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {n + 1} \ geqslant 1 + (n + 1) x}$

Notas

↑ 1 2 Bronstein, Semendyaev, 1985 , p. 212.

Literatura

Bronshtein IN , Semendyaev KA Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Secundaria . - ed. 13 - M. : Nauka, 1985. - 544 p.