Desigualdad de Cohn-Vossen

La desigualdad de Cohn-Vossen relaciona la integral de la curvatura gaussiana de una superficie no compacta con su característica de Euler . Esta desigualdad es similar a la fórmula de Gauss-Bonnet .

Nombrado en honor a Stefan Emmanuilovich Cohn-Vossen .

Redacción

Para cualquier superficie con métrica Riemanniana completa y curvatura integral acotada, la desigualdad [1] $S$

\iint \limits _{S}K\leq 2\cdot \pi \cdot \chi (S),

donde denota la curvatura gaussiana y es la característica de Euler . $k$ ${\ estilo de visualización \ chi (S)}$ $S$

Ejemplos

Si es una superficie compacta sin límite, entonces la desigualdad se convierte en una igualdad según la fórmula de Gauss-Bonnet. $S$
Si es un plano, entonces la desigualdad se vuelve estricta (su lado izquierdo es igual a cero, su lado derecho es igual a ). $S$ $2\pi$

Notas

↑ Robert Osserman, A Survey of Minimal Surfaces , Courier Dover Publications, 2002, página 86.

Literatura

Cohn-Vossen, S. E. Algunas cuestiones de geometría diferencial en general. - Editorial Estatal de Literatura Física y Matemática, 1959. - 303 p.