Característica de Euler

La característica de Euler o la característica de Euler-Poincaré es una característica entera de un espacio topológico . La característica de Euler del espacio generalmente se denota por . $X$ $\ chi (X)$

Definiciones

Para un complejo de celdas finitas (en particular, para un complejo simplicial finito ), la característica de Euler se puede definir como una suma alterna $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

donde denota el número de celdas de dimensión .

k_i

i

La característica de Euler de un espacio topológico arbitrario se puede definir en términos de los números de Betti como una suma alterna: $b_n$ $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Esta definición solo tiene sentido si todos los números de Betti son finitos y se anulan para todos los índices suficientemente grandes.

La última definición generaliza a la anterior y generaliza a otras homologías con coeficientes arbitrarios.

Propiedades

La característica de Euler es una homotopía invariante ; es decir, se conserva bajo la equivalencia de homotopía de espacios topológicos.
- En particular, la característica de Euler es un invariante topológico.
La característica de Euler de cualquier variedad cerrada de dimensión impar es igual a cero [1] .
La característica de Euler del producto de los espacios topológicos M y N es igual al producto de sus características de Euler:

\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).

Característica de Euler de los poliedros

La característica de Euler de los poliedros topológicos bidimensionales se puede calcular mediante la fórmula donde Г, Р y В son los números de caras, aristas y vértices, respectivamente. En particular, para un poliedro simplemente conexo , la fórmula de Euler es verdadera : $\chi =\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} ,$ $\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =\chi (S^{2})=2.$

Por ejemplo, la característica de Euler para un cubo es 6 − 12 + 8 = 2, y para una pirámide triangular 4 − 6 + 4 = 2.

Fórmula de Gauss-Bonnet

Para una variedad Riemanniana compacta orientada bidimensional (superficie) sin límite, existe la fórmula de Gauss-Bonnet , que relaciona la característica de Euler con la curvatura gaussiana de la variedad: $S$ $\ chi (S)$ $k$

\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),

donde es el elemento de área de superficie . $d \ sigma$ $S$

Existe una generalización de la fórmula de Gauss-Bonnet para una variedad bidimensional con límite.
Existe una generalización de la fórmula de Gauss-Bonnet a una variedad de Riemann de dimensión uniforme , conocida como el teorema de Gauss-Bonnet-Chern o la fórmula generalizada de Gauss-Bonnet .
También existe un análogo discreto del teorema de Gauss-Bonnet, que establece que la característica de Euler es igual a la suma de los defectos del poliedro dividida por [2] . $2\pi$
Hay análogos combinatorios de la fórmula de Gauss-Bonnet.

Superficies orientables y no orientables

La característica de Euler de una superficie orientable cerrada está relacionada con su género g (el número de asas , es decir, el número de toros en la suma conectada que representa esta superficie) por la relación

{\ estilo de visualización \ chi = 2-2 g. \ }

La característica de Euler de una superficie cerrada no orientable está relacionada con su género no orientable k (el número de planos proyectivos en la suma conectada que representa esta superficie) por la relación

{\ estilo de visualización \ chi = 2-k. \ }

El valor de la característica de Euler

Nombre	Vista	Característica de Euler
Segmento de línea		una
Circulo		0
Un circulo		una
esfera		2
toro (producto de dos círculos)		0
toro doble		−2
toro triple		−4
plano proyectivo real		una
Cinta de Moebius		0
botella de klein		0
Dos esferas (desconectadas)		2 + 2 = 4
tres esferas		2 + 2 + 2 = 6

Historia

En 1752, Euler [3] publicó una fórmula que relacionaba el número de caras de un poliedro tridimensional. En el trabajo original, la fórmula se da en la forma

S+H=A+2,

donde S es el número de vértices, H es el número de caras, A es el número de aristas.

Anteriormente esta fórmula se encuentra en los manuscritos de René Descartes , publicados en el siglo XVIII.

En 1812, Simon Lhuillier amplió esta fórmula a los poliedros con "agujeros" (por ejemplo, a cuerpos como el marco de un cuadro). En la obra de Lhuillier, se añade al lado derecho de la fórmula de Euler el término donde está el número de agujeros (" género de la superficie ") . Prueba de marco de imagen: 16 caras, 16 vértices, 32 bordes, 1 agujero: ${\ estilo de visualización (-2g),}$ $gramo$ $16+16=32+2-2\cdot 1.$

En 1899, Poincaré [4] generalizó esta fórmula al caso de un politopo N -dimensional:

\sum_{{i=0}}^{{N-1}}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{{N-1}},

donde es el número de caras i -dimensionales de un poliedro N -dimensional. $Ai}$

Si consideramos el poliedro en sí mismo como su propia cara única de dimensión N , la fórmula se puede escribir de una forma más simple:

\sum _{{i=0}}^{{N}}{(-1)}^{i}A_{i}=1.

Variaciones y generalizaciones

Las ecuaciones de Dehn-Somerville son un conjunto completo de relaciones lineales para el número de caras de diferentes dimensiones en un poliedro simple.

Véase también

Lista de objetos que llevan el nombre de Leonhard Euler

Notas

↑ Richeson 2008, pág. 261
↑ Modelado práctico de mallas poligonales con el teorema del capó gaussiano discreto
↑
L. Euler Demostración nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Presentado a la Academia de San Petersburgo el 6 de abril de 1752 . Ópera Omnia 1(26): 94-108.
- Traducción al inglés: Leonhard Euler Prueba de algunas propiedades notables con las que están dotados los sólidos encerrados por caras planas . (Traducido por Christopher Francese y David Richeson)
↑ H. Poincaré, Sur la generalization d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Desgarrar. Academia Sci. 117 (1893), 144-145; Obras, vol. XI, 6-7.

Literatura

Dolbilin N. Tres teoremas sobre poliedros convexos // Kvant . - 2001. - Nº 5 . - S. 7-12 .
Lakatos I. Pruebas y refutaciones. Cómo se prueban los teoremas / Per. I. N. Veselovsky. - M. : Nauka, 1967.
Shashkin Yu. A. Euler característica . - M. : Nauka, 1984. - T. 58. - ( Conferencias populares sobre matemáticas ).
Escuela de verano característica de Yu. M. Burman Euler "Matemáticas modernas", 2012, Dubna

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