Desigualdad de Chebyshev

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La desigualdad de Chebyshev (o desigualdad de Bieneme-Chebyshev ) es una desigualdad en la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad . Fue obtenido por primera vez por Bieneme en 1853, y luego también por Chebyshev (en el artículo "Sobre valores medios" de 1867).

La desigualdad utilizada en la teoría de la medida es más general; en la teoría de la probabilidad, se utiliza su corolario.

Desigualdad de Chebyshev en la teoría de la medida

La desigualdad de Chebyshev en la teoría de la medida describe la relación entre la integral de Lebesgue y la medida . Un análogo de esta desigualdad en la teoría de la probabilidad es la desigualdad de Markov . La desigualdad de Chebyshev también se usa para demostrar la incrustación de un espacio $L_{p}$ en un espacio débil .

Formulaciones

Que sea un espacio con medida . Deja también $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$
- $A\in {\mathcal {F}}$
- $\phi (x)\geqslant 0$ es sumable en una función $A$
- $c>0$ .

Entonces la desigualdad es verdadera:

\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr)}\leqslant {\frac {1}{c))\int \limits _{A }\fi (x)\mu (dx)

Más generalmente:

Si es una función medible real no negativa que no es decreciente en el dominio de definición , entonces

gramo

\fi

\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr)}\leqslant {1 \over g(t)}\int_{ A}g\circ \phi\,\mu (dx).

En términos de espacio : $L_{p}$

deja _ Después

\phi (x)\en L_{p}

\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\ fracción {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.

La desigualdad de Chebyshev se puede obtener como consecuencia de la desigualdad de Markov.

La desigualdad de Chebyshev en la teoría de la probabilidad

La desigualdad de Chebyshev en la teoría de la probabilidad establece que una variable aleatoria generalmente toma valores cercanos a su media . Más precisamente, da una estimación de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor que está lejos de su media.

La desigualdad de Chebyshev es una consecuencia de la desigualdad de Markov .

Formulaciones

Deje que una variable aleatoria se defina en un espacio de probabilidad y que su expectativa matemática y su varianza sean finitas. Después $X\colon\Omega\rightarrow {\mathbb {R}}$ $(\Omega,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ $\mu$ $\sigma^{2}$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}

donde _ $a>0$

Si , ¿dónde está la desviación estándar y , entonces obtenemos $a=k\sigma$ $\sigma$ $k>0$

{\mathbb {P}}\left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}

En particular, una variable aleatoria con varianza finita se desvía de la media en más de una desviación estándar, con una probabilidad menor que . Se desvía de la media por desviaciones estándar con una probabilidad menor que . En otras palabras, la variable aleatoria se ajusta a desviaciones estándar con probabilidad y desviaciones estándar con probabilidad $2$ ${\ estilo de visualización 25 \%}$ $3$ ${\ estilo de visualización 11.12 \%}$ $2$ ${\ estilo de visualización 75 \%}$ $3$ ${\ estilo de visualización 88,88 \%}$

Para el caso más importante de distribuciones unimodales , la desigualdad de Vysochansky-Petunin fortalece significativamente la desigualdad de Chebyshev, incluida la fracción 4/9. Así, el límite en desviaciones estándar incluye los valores de la variable aleatoria. A diferencia de la distribución normal , donde las desviaciones estándar incluyen los valores de una variable aleatoria. $3$ ${\ estilo de visualización 95,06 \%}$ $3$ ${\ estilo de visualización 99,73 \%}$

Véase también

Literatura

Kolmogorov, A. N. , Fomin, S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. - M. : Nauka, 1976. - 544 p.

grupo de autores. Colección Matemática de Moscú. - M. , 1867. - T. 2.

Desigualdad de Chebyshev