Conjunto incontable

Un conjunto incontable es un conjunto infinito que no es contable .

Algunas definiciones equivalentes de incontabilidad para un conjunto : $X$

no hay aplicación inyectiva al conjunto de números naturales ; $X$ $\matemáticas {N}$
$X$ no está vacío , y para cada secuencia numerada de elementos , hay al menos un elemento que no está incluido en ella; $X$ $X$
- en otras palabras: no está vacío, y no hay una aplicación sobreyectiva del conjunto de números naturales en ; $X$ $\matemáticas {N}$ $X$
el poder no es finito ni igual a . $X$ $\aleph_0$

Estas definiciones son equivalentes en el sistema Zermelo-Fraenkel sin utilizar el axioma de elección . Prueba de la equivalencia de estas definiciones con las siguientes:

el poder excede estrictamente $X$ $\aleph_0$

- requiere el uso del axioma de elección.

Un superconjunto de un conjunto incontable es incontable. El ejemplo más simple de un conjunto incontable es el continuo , la cuestión de la existencia de conjuntos incontables con una potencia menor que la potencia del continuo es el contenido de la hipótesis del continuo .

Literatura

M. I. Voitsekhovsky. Enciclopedia Matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.