Conjunto denso en ninguna parte

Un conjunto denso en ninguna parte es un conjunto de un espacio topológico cuyo interior de clausura está vacío ( ), es decir, un conjunto que no es denso en ninguna vecindad del espacio . $A$ $(X,\tau)$ $\operatorname{Int} \bar A = \varnada$ $X$

De manera equivalente, un conjunto no es denso en ninguna parte si y solo si en cada conjunto abierto no vacío se puede encontrar un conjunto abierto no vacío que no se cruza con (es decir, ). $A\subconjunto X$ $X$ $tu$ $V$ $A$ $V \subseteq U \setminus A$

Propiedades

La familia de todos los conjuntos de espacio densos en ninguna parte forman un ideal de subconjuntos , es decir: ${\rm NWD} (X)$ $X$ $X$ si , entonces , $A, B \in {\rm NWD} (X)$ $A \cup B \in {\rm NWD} (X)$ si y , entonces , $A \in {\rm NWD} (X)$ $B\subconjunto A$ $B \in {\rm NWD} (X)$ $X \notin {\rm NWD} (X)$ .
Si y no es denso en ninguna parte ( desde donde se induce la topología ), entonces . $A \subseteq Y \subseteq X$ $A$ $Y$ $A \in {\rm NWD} (Y)$ $Y$ $X$ $A \in {\rm NWD} (X)$
Sea y un subconjunto denso en . Entonces si y solo si . $A \subseteq Y \subseteq X$ $Y$ $X$ $A \in {\rm NWD} (X)$ $A \in {\rm NWD} (Y)$
Un conjunto no es denso en ninguna parte si y solo si su cierre no es denso en ninguna parte. Así, todo conjunto denso en ninguna parte está contenido en algún conjunto denso cerrado en ninguna parte. $A$
Un conjunto denso cerrado en ninguna parte es el límite de un conjunto abierto.

Véase también

Conjunto de la primera categoría

Literatura

Kelly, J. L. Topología general. — M .: Nauka, 1968.
O. Viro. Topología elemental. 2010.