Ideal nilpotente

Un ideal nilpotente es un ideal de un anillo para el cual existe un número natural tal que [1] ( es un subgrupo aditivo generado por el conjunto de todos los productos de los elementos del ideal , es decir, un ideal es nilpotente si y solo si existe un número natural tal que el producto de cualquier elemento del ideal sea igual a 0. El concepto de ideal nilpotente es de gran interés para el caso de anillos no conmutativos . $yo$ $R$ $k$ ${\ estilo de visualización yo ^ {k} = 0}$ ${\ Displaystyle yo ^ {k}}$ $k$ $yo$ $k$ $k$ $yo$

En un anillo de residuos módulo , donde hay un número primo, todos los ideales que no sean el propio anillo son nilpotentes. En el anillo de matrices triangulares superiores sobre algún campo , las matrices con ceros en la diagonal principal forman un ideal nilpotente. $\mathbb{Z} _{{p^{n}}}$ $pag^{n}$ $pags$

Cualquier elemento de un ideal nilpotente es nilpotente . En un anillo conmutativo, cualquier elemento nilpotente está contenido en algún ideal nilpotente, por ejemplo, en el ideal principal generado por este elemento. Un anillo no conmutativo puede contener elementos nilpotentes que no están contenidos en ningún ideal nilpotente (o incluso en un ideal nulo).

En un álgebra de Lie de dimensión finita, existe un ideal nilpotente máximo que consiste en elementos para los cuales el endomorfismo es nilpotente. $gramo$ ${\ estilo de visualización x \ en g}$ ${\ estilo de visualización y \ a [x, y]}$ ${\ estilo de visualización y \ en g}$

Conexión con ideales nulos

Todo ideal nilpotente es un nil-ideal , lo contrario no es cierto en el caso general, pero en algunas clases estos conceptos coinciden. El ideal nulo no es necesariamente nilpotente por varias razones: en primer lugar, puede que no haya un límite superior global en el exponente para establecer diferentes elementos del ideal nulo en cero y, en segundo lugar, cada elemento, al ser nilpotente, no necesariamente da un producto cero al multiplicar diferentes elementos [ 1] .

En el anillo artiniano derecho, cualquier ideal nulo es nilpotente [2] . Esto se confirma con la siguiente observación: cualquier ideal nulo está contenido en el radical de Jacobson del anillo, y el hecho de que el radical de Jacobson sea un ideal nilpotente (debido a la conjetura de Artin) implica la afirmación requerida. De hecho, este enunciado puede generalizarse a los anillos noetherianos rectos , este resultado se conoce como teorema de Levitsky [3] .

Notas

↑ 1 2 Isaacs, 1993 , pág. 194.
↑ Isaacs, 1993 , pág. 195 Corolario 14.3.
↑ Herstein, 1968 , pág. 37 Teorema 1.4.5.

Literatura

EN Herstein. Anillos no conmutativos. - La Asociación Matemática de América, 1968. - ISBN 0-88385-015-X .
- Herstein I. Anillos no conmutativos / Traducido por E.N. Kuzmin. - M. : "Mir", 1972.
I. Martín Isaacs. Álgebra, un curso de posgrado. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2 .
Leng S. Álgebra. - M. , 1968.
Jacobson N. Estructura de anillos. - M. , 1961.
Cara K. Álgebra: anillos, módulos y categorías. - M. , 1977. - T. 1.
Bourbaki N., Grupos de Lie y álgebras. Álgebras de Lie, álgebras de Lie libres y grupos de Lie, trans. del francés, M., 1978.