El anillo de artin

El anillo de Artin (con el nombre de E. Artin ) es un anillo asociativo A con un elemento unidad, en el que se cumple la siguiente condición para romper cadenas descendentes : cualquier secuencia de ideales se estabiliza, es decir, a partir de algún $p_{1}\supset p_{2}\supset \dots \supset p_{n}\supset \dots$ $norte$

p_{n}=p_{n+1}=\ldots

Es fácil probar que esta afirmación es equivalente al hecho de que en cualquier conjunto de ideales A no vacío existe un elemento mínimo. En el caso de un anillo no conmutativo A , se hace una distinción entre anillos artinianos izquierdos y artinianos derechos: el primero satisface la condición de cadena descendente para los ideales izquierdos y el segundo para los ideales derechos. En general, un anillo artiniano izquierdo no es necesariamente un anillo artiniano derecho.

Según el teorema de Artin-Wedderburn , todos los anillos artinianos simples son anillos de matriz sobre un anillo de división . En particular, un anillo simple es artiniano a la izquierda si y solo si es artiniano a la derecha.

Si en la definición reemplazamos cadenas decrecientes por cadenas crecientes, obtenemos la definición de un anillo noetheriano . A pesar de que la condición para terminar cadenas descendentes es dual a la condición para terminar cadenas crecientes, de hecho la primera condición es más fuerte. De acuerdo con el teorema de Hopkins-Levitsky , cualquier anillo artiniano izquierdo (respectivamente derecho) es noetheriano izquierdo (respectivamente derecho).

Ejemplos

El dominio de integridad de Artinian es un campo .
Un anillo con un número finito de ideales (en particular, un anillo finito ) es artiniano.
Si I es un ideal distinto de cero en un anillo de Dedekind , entonces el anillo cociente con respecto a I es un anillo ideal principal artiniano [1] .
Para cualquier anillo de matriz completo sobre un artiniano izquierdo (resp. noetheriano izquierdo), el anillo R es un artiniano izquierdo (resp. noetheriano izquierdo) [2] . $n\geq 1$ $M_{n}(R)$

Anillos artinianos conmutativos

Sea A un anillo noetheriano conmutativo con identidad. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

A es artiniano;
A es un producto finito de anillos locales artinianos ;
La dimensión de A es cero;
El espectro de A es discreto [3] .

Notas

↑ Teorema 459 en http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Archivado el 14 de diciembre de 2010 en Wayback Machine .
↑ Cohn, 2003 , 5.2 Ejercicio 11
↑ Atiyah-McDonald, Capítulo 8, Ejercicio 2.

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. — M .: Mir, 1972
Zarissky O., Samuel R. Álgebra conmutativa. — M .: IL, 1963
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1968
Cohn, Paul Moritz. Álgebra básica: grupos, anillos y campos (inglés) . - Springer, 2003. - ISBN 978-1-85233-587-8 .