Anillo noetheriano
Un anillo noetheriano es un tipo de anillos , una generalización del anillo de ideales principales . El nombre de Emmy Noether .
Definición
Un anillo noetheriano es un anillo asociativo con un elemento de identidad, en el que se cumple la siguiente condición para romper cadenas ascendentes :
cada secuencia de ideales (para anillos no conmutativos, ideales de izquierda) se estabiliza, es decir, a partir de algún .
Notas
- Si en la definición reemplazamos cadenas crecientes por cadenas decrecientes, entonces obtenemos la definición de un anillo artiniano .
Ejemplos
- Campo , ya que tiene sólo dos ideales - y el campo mismo.
- Anillo de Ideales Principales .
- Por ejemplo, un anillo de polinomio en una variable sobre un campo. (Sin embargo, no todos los anillos de Noether son un anillo ideal principal).
- Los anillos de polinomios en un número finito de variables sobre un campo son noetherianos (pero no son anillos ideales principales para más de 1 variable).
Propiedades
- Un anillo es noetheriano si y solo si cualquier conjunto de ideales no vacío tiene un elemento máximo.
- Un anillo es noetheriano si y solo si todo ideal se genera finitamente.
- Teorema de la base de Hilbert : para cualquier anillo noetheriano, el anillo polinomial es noetheriano.
- En particular, también es noetheriano.
- En anillos noetherianos conmutativos , se cumple el teorema de Lasker-Noether , según el cual todo ideal admite una descomposición primaria .
![Hacha]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d5d3b3ae4cfb46d3ef305e5d7dcb130f10e468)
![A[x_1, \ldots, x_n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9878551d3c43d5d887ee0230a5eb2ab1abe2bcfe)
Véase también
Literatura
- Atiya M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa, - M . : Mir, 1972.
- Zarissky O., Samuel R. Álgebra conmutativa, - M. : IL, 1963.
- Leng S. Álgebra, - M. : Mir, 1968.