Asociatividad (matemáticas)

La asociatividad ( compatibilidad ) es una propiedad de una operación binaria , que consiste en la capacidad de aplicar secuencialmente una fórmula en un orden arbitrario a los elementos . $\circ$ $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$ $x,\;y,\;z$

El término fue introducido por William Hamilton en 1853 .

Dado que para las operaciones asociativas el resultado de la expresión no depende del orden de aplicación, se omiten los paréntesis al anotar. Para una operación no asociativa , la expresión for no se define sin más acuerdo sobre el orden de aplicación. $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $x_{1}\circ x_{2}\circ \ldots \circ x_{n}$ $n>2$

Ejemplos de operaciones asociativas:

suma de numeros reales : $(a+b)+c=a+(b+c)$
multiplicación de números reales : $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
composición de funciones : $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)$

Un ejemplo de una operación no asociativa es la exponenciación : el resultado de la expresión depende directamente de la disposición de los corchetes, en el caso general . ${\ estilo de visualización a^{b^{c))}$ ${\displaystyle a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c))$

No toda operación conmutativa es asociativa - hay magmas conmutativos con uno no asociativo.

La asociatividad juega un papel importante en el álgebra general : en la mayoría de las estructuras consideradas, las operaciones binarias son asociativas ( grupos , anillos , campos , semiredes y celosías ). La teoría de semigrupos en realidad investiga el fenómeno de la asociatividad por métodos algebraicos generales. Al mismo tiempo, también se consideran especialmente los sistemas no asociativos, a saber: cuasigrupos , bucles , anillos no asociativos , álgebras no asociativas . Su estudio se complica por el hecho de que muchas propiedades de los sistemas asociativos no se cumplen para ellos. A veces, los problemas de portabilidad de propiedades a estructuras no asociativas resultan no triviales (por ejemplo, la cuestión de la validez del teorema de Lagrange para bucles finitos está abierta).

En informática , la asociatividad se considera una propiedad útil, en particular, que le permite utilizar el paralelismo para aplicaciones secuenciales de una operación. Al mismo tiempo, muchas operaciones prácticas (suma y multiplicación cuando se trabaja con números de coma flotante ) resultan no asociativas.

La propiedad se generaliza naturalmente al caso -ario: una operación se llama asociativa si la identidad se cumple para todos: $norte$ $\varphi \colon X^{n}\to X$ $i = 1, \puntos, n$

\varphi (\varphi (x_{1},\dots,x_{n}),x_{n+1},\dots,x_{2n-1})=\varphi (x_{1},\ puntos ,x_{i},\varphi (x_{i+1},x_{i+2},\puntos ,x_{i+n}),x_{i+n+1},\puntos ,x_{2n -una})

Versiones debilitadas de la propiedad de asociatividad - asociatividad de poder , alternatividad , elasticidad - en ellas, cambiar el orden de la aplicación secuencial solo es posible para un conjunto limitado de casos.

Literatura

Asociatividad - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . O. A. Ivanova, D. M. Smirnov
Shevrin L. N. . Capítulo IV. Semigrupos // Álgebra General / Bajo lo general. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 11-191. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.000 copias. — ISBN 5-9221-0400-4 .