Ecuación de dinámica general

La ecuación general de la mecánica es una formulación matemática del principio de d'Alembert-Lagrange , que da un método general para resolver problemas de dinámica y estática y es uno de los principios básicos de la mecánica teórica . ( [1] P.142) Este combina el principio de los desplazamientos posibles y el principio de d'Alembert

Equilibrio de un sistema mecánico

Para un cuerpo libre, es decir, un cuerpo al que no se imponen restricciones, la condición de equilibrio en el sistema de coordenadas cartesianas está determinada por la igualdad a cero de las sumas de las proyecciones de las fuerzas que actúan sobre cada componente del sistema en el ejes de coordenadas y las sumas de todos los momentos de las fuerzas aplicadas al cuerpo en relación con estos ejes:

$\Sigma F_{x}(i)=\Sigma F_{y}(i)=\Sigma F_{z}(i)=0$ (una)

y (2) $\Sigma (M_{x}(i)=\Sigma (M_{y}(i)=\Sigma (M_{z}(i)=0$

El cumplimiento de estas condiciones indicará que el marco de referencia elegido es inercial y por lo tanto en este marco de referencia el cuerpo estará en reposo o se moverá sin girar (rotación incluida) de manera uniforme y rectilínea ( [1] P.601).

Pero el cumplimiento de estas condiciones no es suficiente para que el equilibrio se mantenga independientemente de las influencias externas sobre el sistema. Para ello, tiene que ser sostenible .

El equilibrio del sistema se considera estable si, con una ligera violación de su conservadurismo, es decir, un cambio en la suma de sus energías cinética y potencial ( [1] P. 309) por influencia externa, sus componentes se desvían ligeramente de la posición de equilibrio y volver a él después de la terminación de la influencia.

Para sistemas conservativos , la condición suficiente para el equilibrio del sistema está determinada por el teorema de Lagrange-Dirichlet , según el cual el equilibrio es estable si la posición de su equilibrio corresponde a la energía potencial mínima ( [1] P. 797).

Conexiones mecánicas

Si el cuerpo no es libre a causa de los enlaces que se le imponen, las de las fórmulas (1) y (2) que no se refieren a las reacciones de los enlaces determinarán el equilibrio del sistema. El resto de ecuaciones proporcionan información que permite determinar las reacciones de los enlaces, lo que es posible si los enlaces fijan rígidamente el sistema, impidiendo cualquier movimiento en él ( [1] P.601). De lo contrario, la necesidad de tener en cuenta las reacciones de acoplamiento e introducirlas en la ecuación de movimiento crea un problema que no siempre tiene solución. [2]

El principio de los desplazamientos posibles

Un cambio en el estado de un sistema mecánico está determinado por un cambio en sus coordenadas , las cuales determinan el número de grados de libertad . En muchos casos, su número está limitado por conexiones, que impiden ciertos cambios por la fuerza que actúa sobre los componentes del sistema. Las restantes posibilidades de cambio de coordenadas están determinadas por los posibles desplazamientos .

El principio de los posibles desplazamientos es uno de los principios variacionales en la ciencia del movimiento de los cuerpos. Establece una condición de equilibrio general para un sistema mecánico. En este caso, se entiende por equilibrio aquel estado de un sistema mecánico sujeto a la influencia de fuerzas, en el que todos los puntos materiales que forman el sistema no cambian de posición, es decir, están en reposo con respecto a este sistema. Si este equilibrio se observa en un marco inercial , tal equilibrio se llama absoluto , en un marco no inercial el equilibrio será solo relativo . ( [1] P.601)

Este principio dice:

Para el equilibrio de un sistema mecánico con enlaces ideales (sin trabajo), es necesario y suficiente que la suma del trabajo de todas las fuerzas activas aplicadas al sistema en cualquier posible desplazamiento del sistema sea igual a cero ( [1] pág. 81)

$\Sigma (\delta A(i)=\Sigma (F(i)\cos \alpha (i)\delta s(i)=0$ (3)

$\delta A(i)$ hay un trabajo elemental realizado por "fuerzas activas" dirigidas en un ángulo con respecto a la dirección del desplazamiento virtual $F(yo)$ $\ alfa (yo)$ $\delta s(yo)$

La reserva sobre las fuerzas activas prevé la ausencia de fuerzas inerciales, es decir, la consideración de posibles desplazamientos en un marco de referencia inercial.

Es esencial que el número de fuerzas activas también incluya reacciones de enlaces que son difíciles y, en algunos casos, no susceptibles de descripción matemática. En este caso, resulta eficaz introducir en consideración enlaces absolutamente rígidos , que no sean deformables y por tanto no realicen trabajo. Al igual que los marcos de referencia inerciales , tales enlaces son una abstracción, aceptables solo a condición de que los errores resultantes de su aceptación no excedan el valor previamente acordado. Pero, suponiendo que los enlaces sean absolutamente rígidos, es posible, al resolver el problema del equilibrio de un sistema mecánico desde el punto de vista del principio de los desplazamientos posibles, excluir generalmente de la consideración la reacción del enlace . ( [2 ] Pág. 178 −189)

Principio de d'Alembert

En el caso de considerar sistemas mecánicos que no se encuentran en estado de equilibrio, no se pueden ignorar las reacciones de acoplamiento. Sin embargo, manteniendo el supuesto de la rigidez absoluta de estos enlaces, resulta que en este caso el concepto de enlace ha perdido su contenido físico y ha desaparecido la posibilidad de expresar las reacciones de los enlaces en función de coordenadas [2 ] , por lo tanto, es imposible escribir ecuaciones diferenciales de movimiento.

d'Alembert propuso una salida a esta dificultad.

La segunda ley de Newton se escribe en la forma:

${m_{i}}{\vec a}$ = + (4) ${\vec{F}}$ ${\vec{F}}_{b},$

donde la fuerza de reacción de los enlaces se suma a la fuerza que actúa sobre el cuerpo ${\vec F}_{b}$

Entonces todos los términos de la igualdad se trasladan a la izquierda:

( - ) + = 0 (5) ${\vec{F}}$ ${m_{i}}{\vec a}$ ${\vec F}_{b}$

Hay una apariencia de equilibrio de fuerzas, lo que permite aplicar formalmente el principio de los posibles desplazamientos. Y, por lo tanto, aquí se hizo posible no tener en cuenta las fuerzas de reacción de los enlaces [2] .

Pero la fuerza (- ) no es más que la fuerza de reacción de la tercera ley de Newton o la fuerza de inercia newtoniana , no aplicada al cuerpo. Aquí, gracias a una técnica artificial, se une a este cuerpo. Así, se ha creado una situación paradójica, que consiste en el hecho de que sobre el cuerpo actúan fuerzas que se compensan entre sí, pero el cuerpo, sin embargo, se mueve con aceleración. ${m_{i}}{\vec a}$

Por lo tanto, la fuerza (- ), que se denomina fuerza de inercia de d'Alembert debido a que no es consecuencia de procesos físicos objetivos, sino producto de la voluntad subjetiva, es ciertamente ficticia [2] . ${m_{i}}{\vec a}$

El principio de d'Alembert-Lagrange

Al principio , el Principio de d'Alembert no contenía ninguna mención de las fuerzas de inercia. Pero con el tiempo, bajo el vector (- ) se empezó a entender la fuerza de inercia [3] (Referencia en [2] P.131). ${m_{i}}{\vec a}$

En un sistema mecánico con conexiones ideales, la suma del trabajo elemental realizado por las fuerzas activas y las fuerzas de inercia sobre cualquier posible desplazamiento (virtual) es igual a cero.

Ecuación general de la dinámica

Está escrito así:

\Sigma (\delta A_{a}(i)+\delta A_{j}(i))=0

(6)

o de otro modo:

\Sigma (F_{a}(i)\cos \alpha (i)+F_{j}(i)\cos \beta (i))\delta s(i)=0.

(7)

Aquí hay trabajo elemental realizado por "fuerzas activas" - índice x = a (es decir, fuerzas cuyo origen puede en principio ser rastreado) y índice de fuerzas de inercia de Euler - x = j (es decir, fuerzas que surgen debido a la acción de otras fuerzas activas no sobre sí mismo i -ésimo componente del sistema, sino sobre el marco de referencia, que como resultado cambió su aceleración). ${\ estilo de visualización \ delta A_ {x} (i)}$

En (7) se supone que el trabajo es causado por una fuerza dirigida en un ángulo para la fuerza activa y en un ángulo para la fuerza de inercia a la dirección del desplazamiento virtual . $F_{x}(yo)$ $\ alfa (yo)$ $\ beta (yo)$ $\delta s(yo)$

Nota

La ecuación general de la mecánica tiene en cuenta el trabajo de las fuerzas de inercia junto con el trabajo de las fuerzas activas. Esto significa que desde el punto de vista de los principios generales de la mecánica en relación con las fuerzas de inercia (más precisamente, las fuerzas de inercia de Euler) “... debe reconocerse que no tenemos ninguna buena razón para dudar de la realidad de las fuerzas de inercia…” ( [2] P. 178)

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Diccionario enciclopédico físico / Cap. edición A. M. Projorov. rojo.col. D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov y otros - M.: Sov. enciclopedia, 1983.-323 p., il, 2 hojas de color il.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Khaykin, Semyon Emmanuilovich . Fuerzas de inercia e ingravidez . M., 1967. Editorial "Ciencia". La edición principal de la literatura física y matemática.
↑ Colección de Nikolai E. L. "Actas del Instituto Industrial de Leningrado" No. 6,1936, ONTI, Leningrado