Circunferencia de Apolonio

El círculo de Apolonio es el lugar geométrico de los puntos en el plano, la razón de las distancias a dos puntos dados es un valor constante, no igual a uno.

Las coordenadas bipolares son un sistema de coordenadas ortogonales en un plano basado en los círculos de Apolonio.

Definición

Sean dos puntos y se den en el plano . Considere todos los puntos de este plano, para cada uno de los cuales la razón $A$ $B$ $PAGS$

k={\frac{PA}{PB}}

es un número positivo fijo. Cuando estos puntos llenen la mediana perpendicular al segmento ; en otros casos, el lugar geométrico indicado es un círculo llamado circunferencia de Apolonio . $k=1$ $AB$

Notas

Los puntos y se llaman focos del círculo de Apolonio. $A$ $B$

Propiedades

El radio del círculo de Apolonio es $R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.$
El segmento de línea entre un punto en un círculo y el punto de intersección de un círculo con una línea es la bisectriz del ángulo mismo o del ángulo adyacente a él . ${\ estilo de visualización PC}$ $AB$ ${\ estilo de visualización \ ángulo APB}$
La inversión sobre el círculo de Apolonio intercambia puntos y lugares. $A$ $B$
El centro de este círculo se encuentra en la línea que conecta estos dos puntos.

Acerca de la evidencia

Una de las demostraciones se basa en la propiedad de las bisectrices interior y exterior de un triángulo, a saber, que la bisectriz divide el lado opuesto en una proporción proporcional a los lados adyacentes. [una]
Hay una demostración basada en la propiedad de inversión . [2]
También hay una prueba bastante simple por cálculo directo en coordenadas.

Aplicaciones

A menudo se utiliza en el análisis de construcciones con compás y regla . En particular, una de las soluciones al problema de Brahmagupta se basa en la construcción del círculo de Apolonio.

El círculo de Apolonio encuentra aplicación para resolver el problema del encuentro en un plano utilizando la estrategia del encuentro paralelo .

Véase también

Coordenadas elípticas

Parecen curvas definidas
- Hipérbola : una curva de diferencia constante en distancias entre focos;
- Elipse es una curva de suma constante de distancias entre focos;
- El óvalo de Cassini es una curva de producto constante de distancias entre focos.

Notas

↑ § 228 , edición de 1914 de la Geometría elemental de Kiselev .
↑ §124 "Geometrías" por A. Yu. Davidov .