Cassini ovalado

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El óvalo de Cassini es una curva que es el lugar geométrico de los puntos , el producto de las distancias desde las cuales a dos puntos dados (focos) es constante e igual al cuadrado de un número determinado . Es un caso especial de la sección tórica y la curva de Perseo . $a$

Un caso especial del óvalo de Cassini con una distancia focal igual a , es la lemniscata de Bernoulli . $2a$

En tiempos modernos, la curva fue introducida (redescubierta) por el astrónomo Giovanni Cassini . Creyó erróneamente que determina con mayor precisión la órbita de la Tierra que una elipse [1] . Aunque esta línea se llama el óvalo de Cassini , no siempre es ovalada (ver más abajo - Características de la forma ).

Variaciones (otros casos)

Curva de suma constante de distancias a dos puntos dados - elipse , razón constante - círculo de Apolonio , diferencia constante - hipérbola .

Ecuaciones

Distancia entre focos . $2c$

En coordenadas rectangulares :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Conclusión
Enfoques - y . Tome un punto arbitrario , encuentre la distancia desde los focos hasta él e igualelo a : $F_{1}(-c;0)$ $F_{2}(c;0)$ $M(x;y)$ $un ^ 2$ $\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$ Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación: $\textstyle {\Grande (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Grande)}\cdot {\Grande (}(xc)^{2}+y^{2}{\Grande )}=a^{4}$ Expanda los corchetes en el lado izquierdo: $\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$ Abrimos los paréntesis, colapsamos el nuevo cuadrado de la suma y sacamos el factor común: $\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Conclusión

Enfoques - y . Tome un punto arbitrario , encuentre la distancia desde los focos hasta él e igualelo a :

F_{1}(-c;0)

F_{2}(c;0)

M(x;y)

un ^ 2

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación:

\textstyle {\Grande (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Grande)}\cdot {\Grande (}(xc)^{2}+y^{2}{\Grande )}=a^{4}

Expanda los corchetes en el lado izquierdo:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Abrimos los paréntesis, colapsamos el nuevo cuadrado de la suma y sacamos el factor común:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Ecuación explícita en coordenadas rectangulares:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Conclusión
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Cuadramos y abrimos los corchetes: $\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}$ traemos a la mente $\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0$ Esta es una ecuación cuadrática para . Resolviéndolo, obtenemos $y^{2}$ $\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}$ Sacando la raíz y descartando la opción con segundo término negativo, obtenemos: $\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$ donde la variante positiva define la mitad superior de la curva, la variante negativa define la inferior.

Conclusión

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Cuadramos y abrimos los corchetes:

\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}

traemos a la mente

\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0

Esta es una ecuación cuadrática para . Resolviéndolo, obtenemos $y^{2}$

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}

Sacando la raíz y descartando la opción con segundo término negativo, obtenemos:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

donde la variante positiva define la mitad superior de la curva, la variante negativa define la inferior.

En sistema de coordenadas polares :

\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi}=a^{4}-c^{4}

Conclusión
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Usando las fórmulas para la transición al sistema de coordenadas polares , obtenemos: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ ${\Grande (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Grande)}^{2}-2c^ {2}{\Grande (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Grande)}=a^{4}-c ^{4}$ Sacamos los factores comunes y usamos la identidad trigonométrica : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$ Usemos otra identidad : $\cos ^{2}\alfa -\sin ^{2}\alfa =cos2\alfa$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Conclusión

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Usando las fórmulas para la transición al sistema de coordenadas polares , obtenemos: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

{\Grande (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Grande)}^{2}-2c^ {2}{\Grande (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Grande)}=a^{4}-c ^{4}

Sacamos los factores comunes y usamos la identidad trigonométrica : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

Usemos otra identidad : $\cos ^{2}\alfa -\sin ^{2}\alfa =cos2\alfa$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Características del formulario

La ecuación de la curva contiene dos parámetros independientes: - la mitad de la distancia entre los focos y - la raíz cuadrada del producto de las distancias desde los focos hasta cualquier punto de la curva. Desde el punto de vista de la forma, lo más significativo es la relación de parámetros, y no sus valores, que, con una relación constante, determinan solo el tamaño de la figura. Se pueden distinguir seis tipos de forma dependiendo de la magnitud de la relación : $C$ $a$ $\textstyle {\frac{c}{a}}$

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ , es decir, en . $\textstyle a=0$ $\textstyle c\neq 0$

La curva degenera en dos puntos que coinciden con los focos. Cuando la forma de la curva tiende a dos puntos.

c\to\infty

$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ , eso es $\textstyle 0<a<c$

La curva se divide en dos óvalos separados , cada uno de los cuales se extiende hacia el otro y tiene forma de huevo .

$\textstyle {\frac{c}{a}}=1$ , eso es $\textstyle a=c$

El lado derecho de la ecuación en coordenadas rectangulares (ver arriba) desaparece y la curva se convierte en una lemniscata de Bernoulli .

$\textstyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , eso es $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

La curva tiene cuatro puntos de inflexión simétricos (uno en cada cuadrante de coordenadas). La curvatura en los puntos de intersección con el eje tiende a cero cuando tiende a ya infinito cuando tiende a .

OY

a

C

a

c{\raíz cuadrada {2}}

$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}({\sqrt {2}}}}$ , eso es $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

La curva se convierte en un óvalo , es decir, una curva cerrada convexa .

$\textstyle {\frac{c}{a}}=0$ , es decir, cuando $\textstyle c=0$ $\textstyle a\neq 0$

A medida que aumenta la relación (es decir, tiende a cero), la curva tiende a un círculo de radio . Si , entonces la relación llega a cero, en cuyo caso la curva degenera en un círculo.

a

\textstyle {\frac{c}{a}}

a

c=0

\textstyle {\frac{c}{a}}

Propiedades

El óvalo de Cassini es una curva algebraica de cuarto orden.
Es simétrica en la mitad del segmento entre los focos.
At tiene dos máximos absolutos y dos mínimos: $0<a<c{\raíz cuadrada {2}}$

{\begin{casos}x=\pm {\frac {{\sqrt {4c^{4}-a^{4)))){2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2 }}{2c}}\end{casos}}

El lugar geométrico de los puntos de máximos y mínimos absolutos es un círculo de radio centrado en el medio del segmento entre los focos.

C

En , la curva tiene cuatro puntos de inflexión . Sus coordenadas polares son: $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$

{\begin{casos}\rho ={\sqrt[ {4}]{{\frac {a^{4}-c^{4}}{3))))\\\cos 2\varphi =-{ \sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)))\end{casos}}

El lugar geométrico de los puntos de inflexión es una lemniscata con vértices .

\left(0;\pm c\right)

Radio de curvatura para representación en coordenadas polares :

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi ))}={\frac {2a^{2}\rho ^{ 3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho^{4}}}

Aplicación

Con un radar de dos posiciones , el área de detección del objetivo es una figura delimitada por el óvalo de Cassini, si tomamos la posición de la fuente de radiación como uno de sus focos, y la posición del receptor como el otro. De manera similar, en astronomía, cuando se observan, por ejemplo, asteroides que brillan con la luz reflejada del Sol, las condiciones para su detección en una determinada sensibilidad del telescopio se describen mediante la fórmula del óvalo de Cassini. En este caso, el límite de detectabilidad será la superficie formada por la rotación del óvalo alrededor del eje que conecta el Sol y el observador.

Óvalos de Cassini en un toroide (toroide)

Los óvalos de Cassini aparecen como secciones planas de un toro , pero solo cuando el plano de corte es paralelo al eje del toro, y su distancia desde el eje es igual al radio de la generatriz del círculo (ver figura).

Generalizaciones

El óvalo de Cassini es un caso especial de la lemniscata .

El óvalo de Cassini es un caso especial de la curva de Perseo .

En particular, la ecuación de la curva de Perseo en el sistema de coordenadas cartesianas

(x^2 + y^2)^2 = hacha^2 + por^2 + c

cuando entra en la ecuación del óvalo de Cassini ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4))$

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Véase también

Literatura

Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes), Moscú, "Enciclopedia soviética", 1982, v. 2 D - Koo, p. 759.
Markushevich A. I. Curvas notables , conferencias populares sobre matemáticas . Archivado el 26 de agosto de 2017 en Wayback Machine , número 4, Gostekhizdat 1952 , 32 p.

Notas

↑ E. Sklyarevsky . Óvalos espaciales de Cassini Archivado el 5 de diciembre de 2008 en Wayback Machine .

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio