Operador de evolución

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El operador de evolución ( generador de evolución en el tiempo ) es un operador en mecánica cuántica , dado sobre un espacio de Hilbert , que transfiere el estado del sistema desde el momento inicial del tiempo a cualquier otro.

Conexión del operador de evolución con el operador de Hamilton

El operador de evolución está relacionado con el operador de Hamilton mediante las siguientes fórmulas:

${\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\derecha)\derecha\},t>t_{0}$

${\hat S}(t,t_{0})=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{{t_ {0}}}H(t')\,dt'}\derecha)\derecha\},t<t_{0}$

donde están los operadores de ordenamiento y antiordenamiento por tiempo. $T,\sobrelínea {T}$

En particular, si el hamiltoniano no depende del tiempo, entonces el operador de evolución tiene la forma:

${\sombrero S}(t,t_{0})=e^{{-i{\sombrero H}(t-t_{0})/\hbar }}$

Propiedades del operador de evolución

1. [1] es un operador unitario. ${\sombrero}(t_{2},t_{1})$

2. . ${\sombrero {S}}(t_{3},t_{2}){\sombrero {S}}(t_{2},t_{1})={\sombrero {S}}(t_{ 3},t_{1}),\para todos \,t_{1},t_{2},t_{3}$

3. [2] , donde es el operador de identidad. ${\sombrero {S}}(t,t_{1}){\sombrero {S}}(t_{1},t)={\sombrero {I}},\para todos \,t_{1} ,t$ ${\ que yo}$

Derivación de la relación entre el operador de evolución y el hamiltoniano

Según los postulados de la mecánica cuántica, el estado puro del sistema se describe mediante un vector del espacio de Hilbert . Introducimos un operador que actúa según la regla: $|\psi\ángulo$ ${\sombrero}(t,t_{0})$

{\hat S}(t,t_{0})\left|\Psi (t_{0})\right\rangle =\left|\Psi (t)\right\rangle

El operador introducido debe ser unitario para que la normalización del vector de estado se mantenga en el tiempo. En la representación de Schrödinger, el vector de estado satisface la ecuación de Schrödinger:

{\hat H}(t)\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {\parcial \over \partial t}\left|\Psi (t)\right\rangle ,

donde está el operador de Hamilton . ${\ sombrero H} (t)$

Si el hamiltoniano no depende del tiempo, entonces - es una solución de la ecuación de Schrödinger. De ello se deduce que el operador de evolución tiene la forma: $\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t-t_{0})/\hbar }}\left|\Psi (t_{0})\right \rango$

{\sombrero S}(t,t_{0})=e^{{-i{\sombrero H}(t-t_{0})/\hbar }}

Ahora dejemos que el operador de Hamilton dependa del tiempo y dejemos . Luego dividimos el intervalo de tiempo considerado en intervalos y asumimos que en cada uno de estos intervalos el operador hamiltoniano es constante , en . Entonces en cualquier momento, de acuerdo con el razonamiento anterior, el vector de estado tiene la forma: $t_{0}<t$ $(t_{n},t_{{n+1}})$ ${\sombrero H}(t)={\sombrero H}(t_{n})$ $t_{n}<t\leq t_{{n+1}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\left|\Psi (t_ {n})\right\rangle =e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\hat H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\sombrero H}(t_{0})(t_{1}-t_{0 })/\hbar }}\izquierda|\Psi (t_{0})\derecha\rangle

Ahora, introduzcamos el operador de ordenación temporal , que opera de acuerdo con la siguiente regla: $T$

T\{{\sombrero H}(t_{{P(m)))){\sombrero H}(t_{{P(m-1))))\puntos {\sombrero H}_{{P(1 )}}\}={\sombrero H}(t_{m}){\sombrero H}(t_{{m-1)))\puntos {\sombrero H}(t_{1})

para , para cualquier permutación . $t_{1}\leq t_{2}\leq \puntos \leq t_{{m}}$ $P(1,2\puntos,m)$

Con esto en mente, la función de onda se puede escribir como:

\left|\Psi (t)\right\rangle =T\left\{e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/\hbar }}\dots e^{{-i{\sombrero H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\sombrero H}(t_{0}) (t_{1}-t_{0})/\hbar }}\right\}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Para los operadores de desplazamientos es cierto que . Dado que los operadores bajo la T - ordenan el viaje, este último se reescribe como: ${\sombrero A},{\sombrero B}$ $e^{{{\sombrero A}}}e^{{{\sombrero B}}}=e^{{{\sombrero A}+{\sombrero B}}}$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{{-i\sum \limits _{{i=0}}^{{n}}{\hat H}( t_{i})\Delta t_{i}/\hbar }}{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Cuando consigamos eso $n\rightarrow\infty$

\left|\Psi (t)\right\rangle =T{\Big \{}e^{-i\int \limits _{t_{0}}^{t}{\hat {H}} (t')dt'/\hbar }{\Big \}}\left|\Psi (t_{0})\right\rangle

Es por eso

{\hat S}(t,t_{0})=T\left\{\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{ t}H(t')\,dt'}\derecha)\derecha\},t>t_{0}

Ahora considere el operador para . Esto es lo mismo si consideramos en . Usemos el hecho de que ${\sombrero}(t,t_{0})$ $t<t_{0}$ ${\ sombrero S}(t_{0},t)$ $t_{0}<t$ ${\sombrero S}(t_{0},t){\sombrero S}(t,t_{0})={\sombrero yo}$

donde es el operador de identidad. ${\ que yo}$

Después:

\lim _{{n\rightarrow 0}}{\hat S}(t_{0},t)e^{{-i{\hat H}(t_{n})(t-t_{n})/ \hbar }}\puntos e^{{-i{\sombrero H}(t_{1})(t_{2}-t_{1})/\hbar }}e^{{-i{\sombrero H} (t_{0})(t_{1}-t_{0})/\hbar }}={\soy yo}

y por verificación directa comprobamos que

{\sombrero S}(t_{0},t)=\lim _{{n\rightarrow 0}}e^{{i{\sombrero H}(t_{0})(t-t_{0})/ \hbar }}\dots e^{{i{\hat H}(t_{{n-1}})(t_{n}-t_{{n-1}})/\hbar }}e^{{ -i{\hat H}(t)(t-t_{n})/\hbar }}=\overline {T}\left\{\exp \left(({\frac {i}{\hbar }} \int _{{t_{0}}}^{{t}}H(t')\,dt'}\right)\right\},t>t_{0}

¿ Dónde está la hora del operador anti-pedido? $\sobrelínea {T}$

Notas

↑ El operador de evolución debe ser unitario para que la normalización del vector de estado se conserve en el tiempo . $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle$
↑ La propiedad 3 es una consecuencia de la propiedad 2.

Véase también

Literatura

Stefanucci, Gianluca. Teoría de muchos cuerpos sin equilibrio de los sistemas cuánticos: una introducción moderna / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013. - Pág. 81-85. — ISBN 9781139023979 .