Matroide orientada

Una matroide dirigida es una estructura matemática que generaliza las propiedades de grafos dirigidos , arreglos de vectores en un campo ordenado , y arreglos de hiperplanos en un campo ordenado, de la misma manera que una matroide ordinaria generaliza las propiedades de grafos ordinarios , arreglos de vectores , o hiperplanos en un campo ordinario .

Notación

Conjunto orientado - un conjunto con una partición de sus elementos en dos subconjuntos: un subconjunto de "elementos positivos" y un subconjunto de "elementos negativos" - . $X$ ${\subrayado {X}}$ ${\ estilo de visualización X^{+))$ ${\ estilo de visualización X^{-}}$

El conjunto se llama portador de un conjunto orientado . ${\subrayado {X}}=X^{+}\taza X^{-}$ $X$

Un conjunto orientado vacío es un conjunto orientado con soporte (respectivamente, con un conjunto vacío de elementos "positivos" y un conjunto vacío de elementos "negativos"). $\conjunto vacio$ ${\subrayado {\emptyset))$

Un conjunto dirigido es lo contrario de un conjunto dirigido si y . $Y$ $X$ $Y^{+}=X^{-}$ ${\ estilo de visualización Y^{-}=X^{+))$

Definición en términos de ciclos

Un conjunto de subconjuntos orientados de un conjunto será un conjunto de ciclos de un matroide orientado si se cumplen los siguientes axiomas: ${\ matemáticas {C}}$ $mi$

(C0) , $\emptyset \notin {\mathcal {C))$
(C1) , ${\mathcal {C}}=-{\mathcal {C}}$
(C2) para cualquier , si , entonces o , $X,Y\in {\mathcal {C}}$ ${\subrayado {X}}\subseteq {\subrayado {Y}}$ $X=Y$ ${\ estilo de visualización X = -Y}$
(C3) para cualquier , y existe tal que y . $X,Y\in {\mathcal {C)),X\neq -Y$ $e\en X^{+}\cap Y^{-}$ $Z\in {\mathcal {C}}$ $Z^{+}\subseteq (X^{+}\cup Y^{+})\barra invertida \{e\}$ $Z^{-}\subseteq (X^{-}\cup Y^{-})\barra invertida \{e\}$

Bibliografía

Björner, A., Las Vergnas, M., Sturmfels, B., White, N. y Ziegler, GM (1999). Matroides orientadas (Nº 46). Prensa de la Universidad de Cambridge